1山形大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{白球を }W\text{、黒球を }B\text{ と表す。} \text{(1)}\quad 2\text{回後に原点にいるには、}WB\text{ または }BW\text{ となればよい。} \quad \frac{6}{10}\frac{4}{9}+\frac{4}{10}\frac{6}{9} =\frac{8}{15}. \text{(2)}\quad 8\text{回後の座標を }2\text{ とするには、白球を }5\text{個、黒球を }3\text{個引く。} \quad \frac{\binom65\binom43}{\binom{10}{8}} =\frac{8}{15}. \text{(3)}\quad 2\text{回目に原点にいる事象は、最初の2回が }WB\text{ または }BW\text{ である。} \text{その確率は }\frac{8}{15}\text{。この後は白球5個、黒球3個が残る。} 6\text{回目にも原点にいるには、次の4回で白黒を各2個引けばよいから、条件付き確率は} \quad \frac{\binom52\binom32}{\binom84}=\frac37. \text{よって求める確率は }\frac{8}{15}\cdot\frac37=\frac{8}{35}. \text{(4)}\quad 6\text{回後の座標が }4\text{ となるには、白球5個、黒球1個を引く。} \text{その確率は} \quad \frac{\binom65\binom41}{\binom{10}{6}}=\frac4{35}. \text{この条件のもとで、黒球が出る位置は6か所のどれも同様に確からしい。} \text{初めて座標 }4\text{ となるのが6回目であるためには、黒球の位置が1回目から4回目でなければならない。} \text{位置が5回目または6回目なら、最初の4回が白球となって4回目に既に座標 }4\text{ となる。} \text{したがって条件付き確率は }\frac46\text{ であり、求める確率は} \quad \frac4{35}\cdot\frac46=\frac8{105}.$$