4京都府立医科大学 2015年 数学 第4問解答・解説

1から10までには奇数が5枚、偶数が5枚ある。割り当てた後に残る2枚の組は、どの組も同じ確率であり、その総数は$\displaystyle \binom{10}{2}=45$である。また、残った8枚を頂点に割り当てる順序は各組について$8!$通りなので、残る2枚の組を数えればよい。

(1) 残った2枚に含まれる奇数の枚数を$j$とすると、頂点に割り当てた奇数カードは$5-j$枚である。全頂点のカード番号の和が偶数となるのは$5-j$が偶数、すなわち$j=1$の場合である。残る組の選び方は奇数1枚と偶数1枚を選ぶ$5\cdot5=25$通りだから、求める確率は$\displaystyle \dfrac{25}{45}=\dfrac{5}{9}$である。

(2) 互いに向かい合う2面は8頂点を分け合う。全8頂点にある奇数カードの枚数が奇数なら、向かい合う2面のカード和の偶奇は異なるので、その一方だけが偶数和となる。このような面の組が3組あるから、偶数和の面はちょうど3面である。反対に、全8頂点の和が偶数なら、各組で2面の偶奇は同じであり、偶数和の面の数は各組から0面または2面ずつとなるため、3面にはならない。したがって、求める条件は割り当てた奇数カードの枚数が奇数であることと同値である。これは残る2枚の奇数枚数$j$が0または2の場合であり、残る組はそれぞれ$\displaystyle \binom{5}{2}=10$通りずつある。よって確率は$\displaystyle \dfrac{10+10}{45}=\dfrac{4}{9}$である。

(3) 全ての面の和が偶数なら、向かい合う2面を合わせた和も偶数なので、全頂点に割り当てた奇数カードの枚数は偶数である。割り当てる奇数カードは3枚、4枚または5枚だから、該当するのは4枚の場合だけである。これは残る2枚が奇数1枚と偶数1枚の場合で、確率は$25/45=5/9$。この場合、8頂点のうち奇数カードが置かれる4頂点の組は、$\displaystyle \binom{8}{4}=70$通りのどれも同じ確率である。

頂点を$(x,y,z)\;(x,y,z\text{ はいずれも0または1})$で表し、頂点$(x,y,z)$に奇数カードがあるとき$p_{xyz}=1$、偶数カードがあるとき$p_{xyz}=0$とする。以下の和は偶奇を表すため2で割った余りで考える。全ての面が偶数和となる条件を、4つの頂点$(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$の値をそれぞれ$a,b,c,d$として解くと、残りの値は$$p_{011}=a+c+d,\quad p_{101}=a+b+d,\quad p_{110}=a+b+c,\quad p_{111}=b+c+d$$となる。これらは各面の4値の和が偶数となる条件から順に定まり、逆にこの形の値は6面全ての条件を満たす。$a,b,c,d$のうち1であるものの個数を$s$とする。上の4つの和では、それぞれ1つずつ異なる基準値を除いた3値を足している。$s$が偶数なら、各3値の和の偶奇は除いた基準値と同じなので、残り4頂点で1となる値は$s$個、全体で1となる値は$2s$個である。$s$が奇数なら3値の和の偶奇は除いた基準値と異なるので、残り4頂点で1となる値は$4-s$個、全体で1となる値は4個である。全体で1となる値が4個となるのは$s=1,2,3$の場合であり、その数は$\displaystyle \binom{4}{1}+\binom{4}{2}+\binom{4}{3}=14$通り。したがって、4枚の奇数カードの配置のうち条件を満たす確率は$14/70=1/5$であり、求める確率は$\displaystyle \dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{9}$である。

(4) 全ての面の和が奇数なら、向かい合う2面の和はともに奇数だから、全頂点の和は偶数である。よって割り当てた奇数カードは4枚であり、その場合の確率は$5/9$。同じく頂点の偶奇を$p_{xyz}$で表し、4つの基準値を$a=p_{000},b=p_{100},c=p_{010},d=p_{001}$とする。各面の4値の和が奇数となる条件から、残りの値は$$p_{011}=1+a+c+d,\quad p_{101}=1+a+b+d,\quad p_{110}=1+a+b+c,\quad p_{111}=1+b+c+d$$と定まる。この形は6面全ての条件を満たす。$a,b,c,d$のうち1であるものの個数を$s$とする。$s$が偶数なら、上の各3値の和の偶奇は除いた基準値と同じなので、残り4頂点で1となる値は$4-s$個であり、全体では4個となる。$s$が奇数なら、各3値の和の偶奇は除いた基準値と異なるので、残り4頂点で1となる値は$s$個、全体では$2s$個である。全体で1となる値が4個なのは$s=0,2,4$の場合であり、その数は$\displaystyle \binom{4}{0}+\binom{4}{2}+\binom{4}{4}=8$通り。従って、4枚の奇数カードの配置のうち条件を満たす確率は$8/70=4/35$である。求める確率は$\displaystyle \dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{4}{35}=\dfrac{4}{63}$である。