2京都府立医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

円錐の高さを $h$ とおく。母線の長さが $1$、底面の半径が $R$ なので、$0<\theta<2\pi$ より $0<R<1$ であり、$$h=\sqrt{1-R^2}.$$

側面を展開した扇形の弧の長さは $\theta$、底面の円周は $2\pi R$ だから、$\theta=2\pi R$、すなわち $R=\theta/(2\pi)$ である。円錐の軸を含む断面は、底辺 $2R$、高さ $h$、等しい辺の長さ $1$ の二等辺三角形となる。その面積は $Rh$、半周長は $1+R$ である。内接球の断面はこの三角形の内接円だから、その半径は三角形の面積を半周長で割ったものに等しく、$$\displaystyle r=\frac{Rh}{1+R}=R\sqrt{\frac{1-R}{1+R}}=\frac{\theta}{2\pi}\sqrt{\frac{2\pi-\theta}{2\pi+\theta}}.$$

次に、球と円錐側面の接する円より頂点側で、両者に囲まれる部分が $A$ である。軸断面の底辺の端から内接円への接線の長さは $R$ なので、各母線上で接点から頂点までの長さは $1-R$ である。したがって接円を底面とする頂点側の小円錐は、元の円錐と相似であり、その母線の長さは $1-R$、底面の半径は $a=R(1-R)$、高さは $h(1-R)$ である。

接円を含む平面の底面からの高さは、母線上の接点までの距離が $R$ であることから $Rh$ である。球の中心は底面から高さ $r$、球の最上点は高さ $2r$ にあるので、接平面から上の球冠の高さを $c$ とすると、$$\displaystyle c=2r-Rh=\frac{Rh(1-R)}{1+R}=r(1-R).$$

よって $A$ の体積は、小円錐の体積からこの球冠の体積を引いたものである。球冠の体積は、底面から高さ $z$ の断面円の半径の二乗が $r^2-(z-r)^2$ であることから、$$\displaystyle \pi\int_{Rh}^{2r}\bigl(r^2-(z-r)^2\bigr)\,dz=\pi c^2\left(r-\frac{c}{3}\right).$$したがって、$$\displaystyle \begin{aligned}V&=\frac{\pi}{3}R^2h(1-R)^3-\pi c^2\left(r-\frac{c}{3}\right)\\&=\frac{\pi}{3}R^2h(1-R)^3-\frac{\pi}{3}r^3(1-R)^2(2+R)\\&=\frac{\pi}{3}R^2h(1-R)^3\left(1-\frac{R(2+R)}{(1+R)^2}\right)\\&=\frac{\pi R^2\sqrt{1-R^2}(1-R)^3}{3(1+R)^2}.\end{aligned}$$

円錐側面のうち $A$ に含まれる部分は、母線の長さが $1-R$、底面半径が $R(1-R)$ の小円錐の側面である。したがって、$$S=\pi R(1-R)^2.$$これより、$$\displaystyle \frac{V}{S}=\frac{R\sqrt{1-R^2}(1-R)}{3(1+R)^2}=\frac{R}{3}\left(\frac{1-R}{1+R}\right)^{3/2}.$$

ここで $\displaystyle f(R)=R\left(\frac{1-R}{1+R}\right)^{3/2}$ とおく。$0<R<1$ で平方根や分母は正であり、微分すると、$$\displaystyle f'(R)=\sqrt{\frac{1-R}{1+R}}\,\frac{1-3R-R^2}{(1+R)^2}.$$よって $f'(R)$ の符号は $1-3R-R^2$ の符号と一致する。この二次式は $0<R<1$ で $R=(\sqrt{13}-3)/2$ を境に正から負に変わる（もう一つの解 $(-3-\sqrt{13})/2$ は負）。また $f(R)$ は $R\to0+$ および $R\to1-$ で $0$ に近づくので、唯一の最大値をとるのは $R=(\sqrt{13}-3)/2$ のときである。$\theta=2\pi R$ より、求める値は $\boxed{\theta=\pi(\sqrt{13}-3)}$ である。