4大阪大学 2014年 数学 第4問解答・解説

大問4

$S_1,S_2$ の中心を結ぶ直線を軸とする。両中心間距離は2である。$T_i$ の半径を $r$ とし、各 $T_i$ の中心と軸との距離を $\rho$ とする。中心 $T_i$ は $S_1,S_2$ から距離 $1+r$ にあり、両中心を結ぶ線分の垂直二等分面上にあるため $$\rho^2+1=(1+r)^2,\qquad \rho=\sqrt{r(r+2)}.$$ 従って全ての $T_i$ の中心は、軸に垂直な同じ平面内で、軸から距離 $\rho$ の円周上にある。

隣り合う $T_i$ の中心間距離は $2r$ である。その円周上でこの弦に対する小さい中心角を $\alpha$ とする。各連続する中心間の向きが途中で反転すると、3つ目の中心が2つ前の中心と一致してしまうので、中心は同じ向きに等しい角 $\alpha$ ずつ進む。輪を閉じるには $n\alpha=2\pi k$（正整数 $k$）である。$k\geq2$ なら、刻み幅が $2\pi k/n$ の配置は、点が重複するか、角度 $2\pi/n<\alpha$ だけ離れた中心対を持つ。その対の距離は $2\rho\sin(\pi/n)<2\rho\sin(\alpha/2)=2r$ となって球が重なる。よって $k=1$、すなわち等間隔の正 $n$ 角形をなす。

したがって隣り合う中心間の弦長から $$\displaystyle 2r=2\rho\sin\frac{\pi}{n},\qquad \frac{r}{\rho}=\sin\frac{\pi}{n}.$$ これと $\rho^2=r(r+2)$ を用い、両辺を二乗して解けば $$\displaystyle \frac{r}{r+2}=\sin^2\frac{\pi}{n},\qquad r=\frac{2\sin^2(\pi/n)}{1-\sin^2(\pi/n)}=2\tan^2\frac{\pi}{n}.$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{r_n=2\tan^2\frac{\pi}{n}}.$$

(2)

$T_1$ の中心を軸から距離 $\rho$ の位置に置き、軸方向の座標を $t$ とする。$-r\leq t\leq r$ で球の断面半径は $s=\sqrt{r^2-t^2}$ である。この断面を軸のまわりに回すと、外半径 $\rho+s$、内半径 $\rho-s$ の円環となる（$\rho>r$ は $\rho^2-r^2=2r>0$ から従う）。よって断面積は $$\pi\{(\rho+s)^2-(\rho-s)^2\}=4\pi\rho\sqrt{r^2-t^2}.$$ これを積分すると $$\displaystyle V_n=4\pi\rho\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-t^2}\,dt =4\pi\rho\cdot\frac{\pi r^2}{2}=2\pi^2\rho r^2,$$ ここで積分は半径 $r$ の半円の面積である。一方、互いに重なる部分のない $n$ 個の球の体積の和は $$\displaystyle W_n=n\cdot\frac43\pi r^3.$$ 従って $$\displaystyle \frac{W_n}{V_n}=\frac{2n}{3\pi}\frac r\rho =\frac{2}{3\pi}n\sin\frac{\pi}{n}.$$ $\sin u/u\to1$（$u\to0$）を用いると $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{n\to\infty}\frac{W_n}{V_n}=\frac23}.$$