2大阪大学 2014年 数学 第2問解答・解説

$t>0$ を固定し、$$\displaystyle H_t(x)=1+x-\frac{t}{2}(e^x+e^{-x})$$ とおく。（ア）は $f(t)\ge H_t(x)$ がすべての実数 $x$ で成り立つことを表し、（イ）よりある $x_0$ で $f(t)=H_t(x_0)$ となる。したがって $x_0$ は $H_t$ の最大点であり、$H_t'(x_0)=0$ である。$$\displaystyle H_t'(x)=1-\frac{t}{2}(e^x-e^{-x}),\qquad H_t''(x)=-\frac{t}{2}(e^x+e^{-x})<0.$$ よって $H_t'$ は、$x$ が大きくなると必ず小さくなり、停留点はただ一つで、それが最大点である。$y=e^{x_0}>0$ とおくと、$$\displaystyle H_t'(x_0)=0\text{すなわち} y-\frac1y=\frac2t\text{すなわち} y^2-\frac2t y-1=0.$$ この二次方程式の正の解は $\displaystyle y=\dfrac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}$ だから、$$\displaystyle x_0=\log\left(\frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}\right).$$ また $y-1/y=2/t$ と $(y+1/y)^2=(y-1/y)^2+4$ より、$$\displaystyle \frac{t}{2}(e^{x_0}+e^{-x_0})=\frac{t}{2}\left(y+\frac1y\right)=\sqrt{1+t^2}.$$ したがって $f(t)=H_t(x_0)=1+x_0-\sqrt{1+t^2}$ であり、$$\displaystyle \boxed{f(t)=1+\log\left(\frac{1+\sqrt{1+t^2}}{t}\right)-\sqrt{1+t^2}}\quad(t>0).$$ $H_t$ はこの $x_0$ で最大となるので、この値は（ア）を満たし、そこで等号が成立するため（イ）も満たす。