3大阪大学 2014年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle S=\displaystyle\sum\limits _{n=1}^{40000}\frac1{\sqrt n}$ とおく。

まず $n\ge1$ では、分母の大小を比べて有理化すると $$\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt n) =\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt n} <\frac1{\sqrt n}$$ となる。これを $n=1$ から $40000$ まで加えると、平方根の差が望遠和になるから $$\displaystyle S>2\sum\limits _{n=1}^{40000}(\sqrt{n+1}-\sqrt n) =2(\sqrt{40001}-1)>398,$$ 最後の不等号は $40001>200^2$ による。

次に $n\ge2$ では同様に $$\displaystyle \frac1{\sqrt n} <\frac{2}{\sqrt n+\sqrt{n-1}} =2(\sqrt n-\sqrt{n-1}).$$ したがって、最初の項を分けて足し合わせると $$\displaystyle S=1+\sum\limits _{n=2}^{40000}\frac1{\sqrt n} <1+2\sum\limits _{n=2}^{40000}(\sqrt n-\sqrt{n-1}) =1+2(200-1)=399.$$ 以上より $398<S<399$ である。よって $S$ の整数部分は $\boxed{398}$。