IV横浜市立大学 2015年 数学 第IV問解答・解説

(1) 各 $x_i$ は最小値 $x$ 以上なので、$x_i-x\geq 0$ である。したがって $\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits _{i=1}^{n}x_i=x$ ならば、$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{n}(x_i-x)=0$ となる。非負の数の和が $0$ だから、すべての $i$ について $x_i-x=0$、すなわち $x_i=x$ である。逆に、すべての項が $x$ ならば平均も $x$ となる。

(2) $c_i=a_i-1$ とおく。条件から $b_i\leq c_i$、$b_{i+1}\leq c_i$ であり、各 $c_i$ は正の自然数である。よって、$\displaystyle B=\sum\limits _{j=1}^{N+1}b_j$ とすると $$\displaystyle B\leq c_1+c_N+\sum\limits _{i=1}^{N-1}\min(c_i,c_{i+1}).$$ ここで $\displaystyle m=\min(c_1,\ldots,c_N)$、$d_i=c_i-m$ とおき、$d_k=0$ となる $k$ を一つとる。各 $d_i\geq0$ であり、$i<k$ なら $\displaystyle \min(d_i,d_{i+1})\leq d_{i+1}$、$i\geq k$ なら $\displaystyle \min(d_i,d_{i+1})\leq d_i$ である。これらを足すと、$d_k=0$ より $$\displaystyle d_1+d_N+\sum\limits _{i=1}^{N-1}\min(d_i,d_{i+1})\leq\sum\limits _{i=1}^{N}d_i.$$ したがって、$\displaystyle D=\sum\limits _{i=1}^{N}d_i$ とおけば $$\displaystyle B\leq (N+1)m+D\leq (N+1)m+\frac{N+1}{N}D=\frac{N+1}{N}(Nm+D).$$ 一方、$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^{N}a_i-N=\sum\limits _{i=1}^{N}c_i=Nm+D$ だから、$\displaystyle F\geq\dfrac{N}{N+1}$ である。$\,m$ を任意の自然数として $a_i=m+1$、$b_j=m$ とすれば条件を満たし、$\displaystyle F=\dfrac{Nm}{(N+1)m}=\dfrac{N}{N+1}$ となる。よってこの値が最小値である。

(3) 上の評価で最小値をとるには、$\displaystyle (N+1)m+D=(N+1)m+\frac{N+1}{N}D$ が必要であるから $D=0$。よってすべての $c_i=m$、すなわち $a_i=m+1$ である。このとき各 $b_j\leq m$ なので、$B=(N+1)m$ となるための必要十分条件はすべての $b_j=m$ である。逆に、この条件ならば実際に $\displaystyle F=\dfrac{N}{N+1}$ となる。以上より、求める条件は、ある自然数 $m$ に対して $a_1=\cdots=a_N=m+1$、$b_1=\cdots=b_{N+1}=m$ となることである。