II横浜市立大学 2015年 数学 第II問解答・解説

(1) 3点を $A,B,C$ とする。$AB$ と $AC$ の垂直二等分線をそれぞれ $\ell,m$ とする。3点は同一直線上にないから，直線 $AB$ と $AC$ は平行でなく，したがって $\ell,m$ も平行でない。よって $\ell,m$ はただ1点 $O$ で交わる。垂直二等分線の性質より $OA=OB$ かつ $OA=OC$ であるから，中心 $O$，半径 $OA$ の円は $A,B,C$ を通る。

この3点を通る円の中心を $O'$ とすると，$O'A=O'B$ および $O'A=O'C$ より，$O'$ は $\ell,m$ の両方の上にある。したがって $O'=O$ であり，半径も $OA$ に定まる。この円は一意である。

(2) $M$ を線分 $AB$ の中点とし，$AB=d$ とおく。点 $C$ が線分 $AB$ を直径とする円の内部にあると仮定すると，$MC<d/2$ である。三角不等式から $$\displaystyle AC\le AM+MC<\frac d2+\frac d2=d=AB$$ となるが，仮定 $AB<AC$ に反する。よって $C$ はこの円の内部にない。

(3) 4点間の距離のうち最小のものを $AB=d$ とし，$r=d/2$ とおく。座標を平行移動・回転して $A=(-r,0), B=(r,0)$ とする。残る2点を $C=(x_C,y_C),D=(x_D,y_D)$ とおく。どの3点も一直線上にないので $y_C,y_D\ne0$ である。また $AC,BC\ge d$ だから $$AC^2+BC^2=2(x_C^2+y_C^2+r^2)\ge 2d^2=8r^2,$$ 従って $x_C^2+y_C^2\ge3r^2>r^2$ となる。同様に $x_D^2+y_D^2>r^2$ である。

まず $A,B,C$ を通る円を $\Gamma_C$ とする。その中心は $A,B$ から等距離なので $y$ 軸上にあり，$O_C=(0,t_C)$ と書ける。半径の2乗は $r^2+t_C^2$ であり，$C$ が円周上にあることから $$2t_Cy_C=x_C^2+y_C^2-r^2>0.$$ 従って $t_C$ と $y_C$ は同符号である。もし $y_D$ と $y_C$ の符号が異なれば， $$D O_C^2-(r^2+t_C^2)=x_D^2+y_D^2-r^2-2t_Cy_D>0$$ となるので，$D$ は $\Gamma_C$ の外部にある。よってこの場合は円 $\Gamma_C$ を選べばよい。

次に $y_C,y_D$ が同符号の場合， $$\displaystyle k_C=\frac{x_C^2+y_C^2-r^2}{|y_C|},\qquad k_D=\frac{x_D^2+y_D^2-r^2}{|y_D|}$$ とおく。いずれも正である。$\Gamma_C$ の方程式は $x^2+y^2-r^2-2t_Cy=0$ であり，$2t_Cy_D=k_C|y_D|$ だから，$D$ が $\Gamma_C$ の内部にあることは $k_D<k_C$ と同値である。同様に，$A,B,D$ を通る円 $\Gamma_D$ について，$C$ がその内部にあることは $k_C<k_D$ と同値である。これら二つの不等式は同時には成り立たない。さらに $k_C=k_D$ なら $D$ は $\Gamma_C$ 上にあり4点が同一円周上にあるが，これは仮定に反する。従って $k_C>k_D$ または $k_D>k_C$ のいずれかであり，前者なら $\Gamma_D$ は $C$ を内部に含まず，後者なら $\Gamma_C$ は $D$ を内部に含まない。よって適切な3点を選べる。