浜松医科大学 2024年数学第4問解答・解説

1問題

浜松医科大学2024年度第4問

正方形の紙 $\alpha$ に下図のような座標軸をとり、2点 $A(0,1),B(-2,0)$ 、および2直線 $y=-1,\ x=2$ を定める。

正方形α内に右向きのx軸と上向きのy軸があり、原点はO、y軸上の正の位置に黒丸A、x軸上の負の位置に黒丸Bがある。破線の水平な直線ℓ₁はx軸の下、破線の垂直な直線ℓ₂はy軸の右にあり、両軸には数値のない目盛が刻まれている。

以下この2直線をそれぞれ $\ell_{1},\ell_{2}$ と表す。このとき、点 $A$ を直線 $\ell_{1}$ 上の点 $A'(a,-1)$ に重ねて $\alpha$ を折ったときにできる折り目の直線を $\ell_{3}(a)$ とする。ただし、 $A'$ は $\alpha$ 上にとることとし、また、以下の操作はすべて $\alpha$ 上で行うこととする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $\ell_{3}(a)$ の方程式を、 $a$ を用いて表せ。

(2) 点 $A$ が直線 $\ell_{1}$ 上に位置するように $\alpha$ を折り、そのときにできる折り目により、 $\alpha$ を2つに分割する。このとき、点 $A$ が直線 $\ell_{1}$ 上に位置するような、どのような折り方をしても、その折り目に対して常に点 $A$ と同じ側にある点全体の集合の境界線の方程式を求めよ。

(3) 点 $A$ が直線 $\ell_{1}$ 上の点 $A'$ に重なると同時に、点 $B$ が直線 $\ell_{2}$ 上の点に重なるように $\alpha$ を折るとき、 $a$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\displaystyle \ell_3(a):\ y=\frac a2x-\frac{a^2}{4}$
(2)
$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$
(3)
$a=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

第4問 $A$ と $A'=(a,-1)$ から等距離にある点 $(x,y)$ の条件は $x^2+(y-1)^2=(x-a)^2+(y+1)^2$ である。よって折り目は $\displaystyle \boxed{\ell_3(a):\ y=\frac a2x-\frac{a^2}{4}}. \tag{1}$

点 $(x,y)$ が $A$ と同じ側にある条件は、 $A$ の方が $A'$ より近いこと、すなわち $\displaystyle x^2+(y-1)^2<(x-a)^2+(y+1)^2 \quad\text{すなわち}\quad y>\frac a2x-\frac{a^2}{4}.$ したがって、すべての折り方で共通する側は、すべての許される $a$ についてこの不等式を満たす領域である。図示された正方形 $\alpha$ 内では各点の $x$ 座標と同じ $a=x$ を取れるので、 $\displaystyle \max\limits _a\left(\frac a2x-\frac{a^2}{4}\right) =\frac{x^2}{4}-\frac{(a-x)^2}{4}\bigg|_{a=x} =\frac{x^2}{4}.$ よって境界線は $\displaystyle \boxed{y=\frac{x^2}{4}}. \tag{2}$

最後に、同じ折り目で $B=(-2,0)$ が $B'=(2,b)$ に移るとする。線分 $BB'$ は折り目に垂直だから $(4,b)$ は $(a,-2)$ に平行であり、 $ab=-8$ 。また中点 $(0,b/2)$ は (1) 上にあるので $b/2=-a^2/4$ 、すなわち $b=-a^2/2$ 。これらより $\displaystyle -\frac{a^3}{2}=-8,\qquad \boxed{a=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}}.$

この問題で使う考え方

垂直二等分線
距離の二乗比較
反射の中点と垂直条件

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