2浜松医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

【条件付き】(1)〜(3)の確率式は、各試合の勝敗が互いに独立で、各試合でAが勝つ確率が一定のpであると仮定した場合の解答である。原文には対局間の独立性が明記されていないため、この仮定を置かない場合は周辺確率pだけでは答えが定まらない。

(1) 先に3勝するまでなので、Aが勝つのは3、4、5試合目までのいずれかである。3試合で勝つ確率は $p^3$。4試合で勝つには最初の3試合で2勝1敗の後に勝つので $3p^3(1-p)$。5試合で勝つには最初の4試合が2勝2敗の後に勝つので $6p^3(1-p)^2$。従って $$P(A\text{優勝})=p^3\{1+3(1-p)+6(1-p)^2\}.$$

(2) $p=3/4$ を代入すると $459/512=0.896484375$。小数第3位を四捨五入して小数第2位までにすると $0.90$。

(3) Aが第 $N+k$ 試合で先にN勝するには、最後がAの勝ちで、その前 $N+k-1$ 試合にAの勝ちが $N-1$ 回、Bの勝ちがk回必要である。$0\le k\le N-1$ だから $$\displaystyle P(A\text{が先にN勝})=\sum\limits _{k=0}^{N-1}\binom{N+k-1}{N-1}p^N(1-p)^k.$$

(4) $m$ を正の整数とする。公平なコインを $2m+1$ 回投げると、表が $m+1$ 回以上出る確率は、表裏を入れ替える対応により $1/2$。この事象を「$(m+1)$回目の表が出る時点」で分ける。そこまでに裏がk回（$0\le k\le m$）出ているとき、最後の表より前の $m+k$ 回の並べ方は $\displaystyle \binom{m+k}{k}$ 通りで、残りの $m-k$ 回は任意だから、該当する全結果数は $\displaystyle \binom{m+k}{k}2^{m-k}$。従って $$\displaystyle \frac12=\sum\limits _{k=0}^{m}\frac{\binom{m+k}{k}2^{m-k}}{2^{2m+1}} =\frac1{2^{m+1}}\sum\limits _{k=0}^{m}\frac{\binom{m+k}{k}}{2^k}.$$ よって後者の和（k=0を含む）は $2^m$。k=0の項は1なので、問題の和は $2^m-1$。