4琉球大学 2018年 数学 第4問解答・解説

初めは各箱に赤玉と白玉が1個ずつ入っている。1回の操作で取り出す玉の色の組は、赤・赤、赤・白、白・赤、白・白の4通りが同様に確からしい。

(問1)　 1回目に同じ色の玉を取り出すと、交換後も各箱に赤玉と白玉が1個ずつ入っている。異なる色の玉を取り出すと、一方の箱が赤玉2個、他方が白玉2個となる。したがって、$$\displaystyle p_1=\frac{2}{4}=\frac12.$$

2回目の後に各箱が赤玉と白玉を1個ずつ含むのは、1回目の後も両箱が混合状態であり、2回目に同じ色を取り出す場合、または1回目の後に一方が赤玉2個、他方が白玉2個となり、2回目に必ず混合状態に戻る場合である。よって$$\displaystyle p_2=\frac12\cdot\frac12+\frac12\cdot1=\frac34.$$

(問2)　 n回目の操作後に両箱が混合状態である確率は$p_n$である。その状態から次も混合状態である確率は$\displaystyle \frac12$である。一方、混合状態でないときは一方の箱に赤玉2個、他方に白玉2個が入っており、次の操作で必ず両箱が混合状態になる。したがって、$$\displaystyle p_{n+1}=\frac12p_n+(1-p_n)=1-\frac12p_n.$$

(問3)　 この漸化式の定数解は$\displaystyle \frac23$である。そこで$\displaystyle q_n=p_n-\frac23$とおくと、$$\displaystyle q_{n+1}=p_{n+1}-\frac23=-\frac12\left(p_n-\frac23\right)=-\frac12q_n.$$また$\displaystyle q_1=\frac12-\frac23=-\frac16$だから、$$\displaystyle q_n=-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac13\left(-\frac12\right)^n.$$ゆえに$$\displaystyle p_n=\frac23+\frac13\left(-\frac12\right)^n.$$

この式に$n=1,2$を代入するとそれぞれ$\displaystyle \frac12,\frac34$となり、問1の値と一致する。また、この式は$\displaystyle p_{n+1}=1-\frac12p_n$を満たすので、漸化式の解として確かめられる。