2琉球大学 2018年 数学 第2問解答・解説

問1について，$a_1=3,\ a_2=7,\ a_3=13$ だから，$$x_2=(3+i)(7+i)=20+10i$$ より $x_2=20,\ y_2=10$ である。また，$$x_3+y_3i=(20+10i)(13+i)=250+150i$$ より $x_3=250,\ y_3=150$ である。

問2について，$P_n=(a_1+i)(a_2+i)\cdots(a_n+i)=x_n+y_ni$ とおき，$\displaystyle c_n=\displaystyle\prod\limits _{k=2}^{n}(k^2+1)$ とする。ただし $n=1$ のときは積を $1$ とする。$$P_n=c_n\bigl((n+2)+ni\bigr)$$ がすべての自然数 $n$ で成り立つことを数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき，$P_1=3+i=(1)((1+2)+1\cdot i)$ となり成り立つ。$n\geq 2$ とし，$n-1$ で成り立つと仮定すると，$$\begin{aligned} P_n&=P_{n-1}(a_n+i)\\ &=c_{n-1}\bigl((n+1)+(n-1)i\bigr)(n^2+n+1+i)\\ &=c_{n-1}\left(\{(n+1)(n^2+n+1)-(n-1)\}+\{(n-1)(n^2+n+1)+(n+1)\}i\right)\\ &=c_{n-1}(n^2+1)\bigl((n+2)+ni\bigr)\\ &=c_n\bigl((n+2)+ni\bigr). \end{aligned}$$ したがってこの式はすべての自然数 $n$ で成り立つ。$c_n>0$ であるから，$x_n=c_n(n+2)>0,\ y_n=c_nn$ となり，$$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}=\frac{c_nn}{c_n(n+2)}=\frac{n}{n+2}.$$