3琉球大学 2018年 数学 第3問解答・解説

指数関数部分は常に正なので、増減は $\cos x-\sin x$ の符号だけで決まります。零点は $-3\pi/4,\pi/4$ で、符号は「負、正、負」です。これから極小値 $e^{-\sqrt2}$ と極大値 $e^{\sqrt2}$ が出ます。

二階導関数を整理すると、符号を決める部分は $1-(\sin x+\cos x)$ だけになります。$\sin x+\cos x=1$ はこの区間で $x=0,\pi/2$ なので、その間だけ上に凸、外側は下に凸です。したがって変曲点は $(0,e)$ と $(\pi/2,e)$ です。端点、極値点、変曲点の座標を通り、増減・凹凸の表に従う滑らかな曲線を描けばよいです。