1琉球大学 2018年 数学 第1問解答・解説

$a>0$ とする。$x\le a$ では $g(x)=2(a-x)$、$x\ge a$ では $g(x)=2(x-a)$ であるから、交点を場合分けして求める。

$x\le a$ のとき、 $$-x^2+4x=2(a-x) \quad\text{すなわち}\quad (x-3)^2=9-2a.$$ したがって実数解があるのは $\displaystyle a\le\frac92$ のときで、候補は $$x_-=3-\sqrt{9-2a},\qquad x_+=3+\sqrt{9-2a}$$ である。$x_-\le a$ は常に成り立つ。実際、$a\ge3$ なら $x_-\le3\le a$ であり、$0<a<3$ なら $$x_-\le a \quad\text{すなわち}\quad \sqrt{9-2a}\ge3-a \quad\text{すなわち}\quad 9-2a\ge(3-a)^2 \quad\text{すなわち}\quad a(4-a)\ge0$$ となる。一方、$x_+\le a$ となるのは $$a\ge3+\sqrt{9-2a}$$ のときである。これは $a\ge3$ のもとで両辺を比較して二乗すると $a(a-4)\ge0$ と同値なので、$\displaystyle 4\le a\le\frac92$ のときに限る。

$x\ge a$ のときは $$-x^2+4x=2(x-a) \quad\text{すなわち}\quad (x-1)^2=1+2a.$$ 解は $1\pm\sqrt{1+2a}$ だが、$1-\sqrt{1+2a}<0<a$ なので、条件を満たし得るのは $$x=1+\sqrt{1+2a}$$ だけである。この解が $x\ge a$ を満たすのは $0<a\le4$ のときである（$a>1$ なら二乗して $(a-1)^2\le1+2a$、すなわち $a\le4$）。

以上より、$0<a<4$ では左右の枝に1点ずつ交点がある。$a=4$ では $x=4=a$ が両方の式に現れる同じ交点であり、もう1点 $x=2$ がある。$\displaystyle 4<a<\frac92$ では左の枝に異なる2点がある。$\displaystyle a=\frac92$ では左の枝の解が重なって $x=3$ の1点だけとなり、$\displaystyle a>\frac92$ では交点がない。よって問1の答えは $\displaystyle a=\frac92$、問3で2点となる範囲は $\displaystyle 0<a<\frac92$ である。交点の $x$ 座標は $$\displaystyle \begin{cases} 3-\sqrt{9-2a},\quad 1+\sqrt{1+2a}&(0<a\le4),\\ 3-\sqrt{9-2a},\quad 3+\sqrt{9-2a}&(4<a<\frac92). \end{cases}$$

問2では $\displaystyle a=\frac92$ である。このとき $y=g(x)=9-2x$（$\displaystyle x\le\frac92$）であり、$f$ と $g$ は $x=3$ で交わる。また、$f(x)=0$ の解は $x=0,4$、$g(x)=0$ の解は $\displaystyle x=\frac92$ である。したがって、囲まれた部分の面積は $3\le x\le4$ では $g-f$、$\displaystyle 4\le x\le\frac92$ では $g$ を積分して $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_3^4\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx +\int_4^{9/2}g(x)\,dx\\ &=\int_3^4(x-3)^2\,dx +\int_4^{9/2}(9-2x)\,dx\\ &=\frac13+\frac14=\frac7{12}. \end{aligned}$$ ゆえに問2の答えは $\displaystyle \frac7{12}$ である。