2筑波大学 2023年 数学 第2問解答・解説

$\alpha>1$ で点 $(\alpha,\beta)$ が曲線 $C_1$ 上にあるので，$\beta=\alpha^2-1$ であり $$C_2:\quad y=-(x-\alpha)^2+\alpha^2-1=-x^2+2\alpha x-1.$$

(1) $|x|\leq1$ では $C_1$ は $y=1-x^2$ である。交点条件から $$\displaystyle 1-x^2=-x^2+2\alpha x-1 \quad\text{より}\quad x=\frac1\alpha.$$ よってもう一方の交点の $x$ 座標は $p=1/\alpha$ であり，$\alpha>1$ より $0<p<1$。一方，$|x|\geq1$ では $C_1$ は $y=x^2-1$ だから $$x^2-1=-x^2+2\alpha x-1 \quad\text{より}\quad x=0\ \text{または}\ x=\alpha.$$ この範囲に属するのは $x=\alpha$ だけである。

(2) $p\leq x\leq1$ では $$C_2-C_1=2(\alpha x-1)\geq0,$$ また $1\leq x\leq\alpha$ では $$C_2-C_1=2x(\alpha-x)\geq0.$$ したがって $$\displaystyle \begin{aligned} S_1 &=\int_{1/\alpha}^{1}2(\alpha x-1)\,dx +\int_1^\alpha2x(\alpha-x)\,dx\\ &=\left[\alpha x^2-2x\right]_{1/\alpha}^{1} +\left[\alpha x^2-\frac23x^3\right]_1^\alpha\\ &=\alpha-2+\frac1\alpha+\frac{\alpha^3}{3}-\alpha+\frac23\\ &=\frac{\alpha^3}{3}+\frac1\alpha-\frac43. \end{aligned}$$

(3) $x\geq1$ で $C_1:y=x^2-1$ なので，定義された領域の面積は $$\displaystyle S_2=\int_1^\alpha(x^2-1)\,dx=\frac{\alpha^3}{3}-\alpha+\frac23.$$ よって $$\displaystyle S_1-S_2=\alpha+\frac1\alpha-2 =\frac{(\alpha-1)^2}{\alpha}>0$$ （$\alpha>1$）であり，$S_1>S_2$。