3筑波大学 2023年 数学 第3問解答・解説

・ $\mathbf a=\overrightarrow{OA},\ \mathbf b=\overrightarrow{OB},\ \mathbf c=\overrightarrow{OC},\ \mathbf d=\overrightarrow{OD}$ とおく。$G$ は $\triangle ABC$ の重心だから $$\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c}{3}=-\frac{\mathbf d}{3}=-\frac13\overrightarrow{OD}.$$

・ $|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=|\mathbf d|=r$ で、$\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c=-\mathbf d$ である。$S=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf b\cdot\mathbf c+\mathbf c\cdot\mathbf a$ とおくと $$r^2=|\mathbf d|^2=|\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c|^2=3r^2+2S,$$ よって $S=-r^2$。

・ $\mathbf p=\overrightarrow{OP}$ とおけば $|\mathbf p|=r$。求める式を $E$ とすると、内積を展開して $$E=S-2\mathbf p\cdot(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c)+3|\mathbf p|^2 =-r^2+2\mathbf p\cdot\mathbf d+3r^2=2r^2+2\mathbf p\cdot\mathbf d.$$ さらに $$0\le |\mathbf p-\mathbf d|^2=2r^2-2\mathbf p\cdot\mathbf d$$ より $\mathbf p\cdot\mathbf d\le r^2$。したがって $E\le4r^2$ であり、$P=D$（すなわち $\mathbf p=\mathbf d$）のとき等号が成り立つ。最大値は $4r^2$。このとき $$\displaystyle \overrightarrow{PG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OP}=-\frac43\mathbf d$$ だから、$\displaystyle |\overrightarrow{PG}|=\frac43r$。