本文へ進む
検索
メニュー
医学部数学 過去問DB問題を探す

宮崎大学／2024年度／前期

宮崎大学 2024年 数学 第3問解答・解説

ベクトル図形と計量

このページには広告が含まれます。

1問題

宮崎大学2024年度第3問

1辺の長さが 11 の正四面体 OABCOABC において，△ABC\triangle ABC の重心を GG，線分 BCBC を 1:31:3 に内分する点を DD とする。また，直線 ABAB 上にあり，GD→⊥GE→\overrightarrow{GD}\perp\overrightarrow{GE} を満たす点を EE とする。このとき，b⃗=AB→, c⃗=AC→\vec{b}=\overrightarrow{AB},\ \vec{c}=\overrightarrow{AC} として，次の各問に答えよ。

(1) AG→\overrightarrow{AG} を b⃗,c⃗\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。

(2) GD→, GE→\overrightarrow{GD},\ \overrightarrow{GE} のそれぞれを，b⃗,c⃗\vec{b},\vec{c} を用いて表せ。また，∣GD→∣, ∣GE→∣\left|\overrightarrow{GD}\right|,\ \left|\overrightarrow{GE}\right| の値をそれぞれ求めよ。

(3) OG→⋅b⃗\overrightarrow{OG}\cdot\vec{b} と OG→⋅c⃗\overrightarrow{OG}\cdot\vec{c} の値をそれぞれ求めよ。

(4) PP を平面 ABCABC 上の点とする。また，点 PP は，直線 GDGD で平面 ABCABC を2つに分けたときに，点 EE と同じ側にあるとする。△DGP\triangle DGP の面積が 11 のとき，OP→⋅GE→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)AG→=b⃗+c⃗3/(2)GD→=5b⃗−c⃗12, GE→=b⃗−3c⃗9, ∣GD→∣=2112, ∣GE→∣=79/(3)OG→⋅b⃗=0, OG→⋅c⃗=0/(4)OP→⋅GE→=839\displaystyle (1) \overrightarrow{AG}=\dfrac{\vec b+\vec c}{3} / (2) \overrightarrow{GD}=\dfrac{5\vec b-\vec c}{12},\space{}\overrightarrow{GE}=\dfrac{\vec b-3\vec c}{9},\space{}|\overrightarrow{GD}|=\dfrac{\sqrt{21}}{12},\space{}|\overrightarrow{GE}|=\dfrac{\sqrt7}{9} / (3) \overrightarrow{OG}\cdot\vec b=0,\space{}\overrightarrow{OG}\cdot\vec c=0 / (4) \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE}=\dfrac{8\sqrt3}{9}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

正四面体の辺の長さがすべて1であるから、 ∣b⃗∣=∣c⃗∣=1,b⃗⋅c⃗=12.\displaystyle |\vec b|=|\vec c|=1,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac12. また、a⃗=OA→\vec a=\overrightarrow{OA} とおくと OB→=a⃗+b⃗\overrightarrow{OB}=\vec a+\vec b、OC→=a⃗+c⃗\overrightarrow{OC}=\vec a+\vec c である。 ∣OB→∣=∣OC→∣=∣a⃗∣=1|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=|\vec a|=1 より a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗=−12.\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=-\frac12.

(1) 三角形ABCABCの重心の位置ベクトルより、 AG→=AB→+AC→3=b⃗+c⃗3.\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3} =\frac{\vec b+\vec c}{3}.

(2) BD:DC=1:3BD:DC=1:3 なので AD→=3b⃗+c⃗4,GD→=AD→−AG→=5b⃗−c⃗12.\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac{3\vec b+\vec c}{4},\qquad \overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AG} =\frac{5\vec b-\vec c}{12}. EEは直線ABAB上にあるから、実数ttを用いて AE→=tb⃗\overrightarrow{AE}=t\vec b とおける。このとき GE→=(t−13)b⃗−13c⃗.\displaystyle \overrightarrow{GE}=\left(t-\frac13\right)\vec b-\frac13\vec c. 条件GD→⋅GE→=0\overrightarrow{GD}\cdot\overrightarrow{GE}=0 と ∣b⃗∣=∣c⃗∣=1, b⃗⋅c⃗=12\displaystyle |\vec b|=|\vec c|=1,\ \vec b\cdot\vec c=\frac12 より 0=(5b⃗−c⃗)⋅{(t−13)b⃗−13c⃗}=92(t−13)−12.\displaystyle 0=(5\vec b-\vec c)\cdot \left\{\left(t-\frac13\right)\vec b-\frac13\vec c\right\} =\frac92\left(t-\frac13\right)-\frac12. したがってt=49\displaystyle t=\frac49であり、 GE→=b⃗−3c⃗9.\displaystyle \overrightarrow{GE}=\frac{\vec b-3\vec c}{9}. よって ∣GD→∣2=25+1−10(1/2)144=21144,∣GE→∣2=1+9−6(1/2)81=781,\displaystyle |\overrightarrow{GD}|^2 =\frac{25+1-10(1/2)}{144}=\frac{21}{144},\qquad |\overrightarrow{GE}|^2 =\frac{1+9-6(1/2)}{81}=\frac7{81}, ゆえに∣GD→∣=2112\displaystyle |\overrightarrow{GD}|=\frac{\sqrt{21}}{12}、 ∣GE→∣=79\displaystyle |\overrightarrow{GE}|=\frac{\sqrt7}{9}である。

(3) OG→=a⃗+b⃗+c⃗3\displaystyle \overrightarrow{OG}=\vec a+\frac{\vec b+\vec c}{3} だから、 OG→⋅b⃗=−12+1+1/23=0,OG→⋅c⃗=−12+1+1/23=0.\displaystyle \overrightarrow{OG}\cdot\vec b =-\frac12+\frac{1+1/2}{3}=0,\qquad \overrightarrow{OG}\cdot\vec c =-\frac12+\frac{1+1/2}{3}=0.

(4) OG→\overrightarrow{OG}は平面ABCABCに垂直であり、 GE→\overrightarrow{GE}は同平面上にあるので OG→⋅GE→=0\overrightarrow{OG}\cdot\overrightarrow{GE}=0。 したがって OP→⋅GE→=(OG→+GP→)⋅GE→=GP→⋅GE→.\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{GE} =(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP})\cdot\overrightarrow{GE} =\overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE}. GE→\overrightarrow{GE}は直線GDGDに垂直で、点EE側を向く。 点PPもEEと同じ側にあり、三角形DGPDGPの面積が1だから、 点PPから直線DGDGまでの距離は 2⋅1∣DG→∣=2421.\displaystyle \frac{2\cdot1}{|\overrightarrow{DG}|} =\frac{24}{\sqrt{21}}. この距離はGP→\overrightarrow{GP}のGE→\overrightarrow{GE}方向の成分であり、 よって GP→⋅GE→=2421∣GE→∣=2421⋅79=839.\displaystyle \overrightarrow{GP}\cdot\overrightarrow{GE} =\frac{24}{\sqrt{21}}|\overrightarrow{GE}| =\frac{24}{\sqrt{21}}\cdot\frac{\sqrt7}{9} =\frac{8\sqrt3}{9}.

この問題で使う考え方

  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察
  • 三角比による面積

PR

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。