1宮崎大学 2024年 数学 第1問解答・解説

まず $S=ab+bc+ca$ とおく。このとき $$P^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2S=Q+3S$$ である。

（1）$P$ が3の倍数なので、ある整数 $k$ を用いて $P=3k$ と書ける。したがって $$Q=P^2-3S=9k^2-3S=3(3k^2-S)$$ となり、$Q$ は3の倍数である。

（2）$Q$ が3の倍数なので、ある整数 $m$ を用いて $Q=3m$ と書ける。恒等式から $$P^2=Q+3S=3(m+S)$$ となる。もし $P$ が3の倍数でなければ、整数 $P$ を3で割った余りは1または2であり、その平方を3で割った余りは1となる。これは $3\mid P^2$ に反する。よって $P$ は3の倍数である。

（3）展開すると $$PQ=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc=R$$ である。$R$ が3の倍数なら、$R=PQ$ と3の素数性から $P$ または $Q$ の少なくとも一方が3の倍数である。（1）（2）より $P$ が3の倍数であることと $Q$ が3の倍数であることは同値だから、$P,Q$ はともに3の倍数となる。したがって $R=PQ$ は9の倍数である。

二つの恒等式 P²=Q+3(ab+bc+ca)、R=PQ を使う。前半でPとQの3の倍数条件が同値と分かり、後半でRが3の倍数ならPとQの両方が3の倍数となるため、Rは9の倍数になる。