宮崎大学／2024年度／前期
宮崎大学 2024年 数学 第4問解答・解説
このページには広告が含まれます。
1問題
平面上に固定された円があり，円周上に点が8つ，円周を8等分するようにとられている。さらに，右図のように，番号1は円の中心を表し，番号2～9はそれぞれ，円周上の点を表すとする。1から9までの番号が1つずつ書かれた9枚のカードがあり， の3人が，司会者のもとで次のゲームを行う。
司会者は，9枚のカードから無作為に3枚をとって に渡し，続いて，残り6枚のカードから無作為に3枚をとって に渡し，続いて，残った3枚のカードを に渡す。 は，受け取ったカードに書かれた番号が表す3点のうちのどの2点も線分で結ぶ。 も も， と同じことを行う。このようにして，3人それぞれが図形を作る。このとき，次の各問に答えよ。 (1) の作る図形が三角形でない確率を求めよ。 (2) 3人の作る図形がいずれも三角形である確率を求めよ。 (3) このゲームを4回行ったとき，次の6つの条件①～⑥がすべて満たされるとする。ただし，①～⑨はそれぞれ，1～9の番号が書かれたカードを表す。 ① ある回で誰かに線分で結ばれたことのある2点は，他のどの回においても誰にも結ばれない。 ② の作る図形は4回とも三角形ではない。 ③ 1回目に， は を受け取る。 ④ 2回目に， は と を， は と を受け取る。 ⑤ 3回目に， は と を， は と を受け取る。 ⑥ 4回目に， は と を受け取る。 このとき， のそれぞれが各回でどの番号のカードを受け取ったか答えよ。ただし，例えば，ある回で が ， が ， が を受け取ったときは， のように解答欄に記すとし，解答欄において番号の書かれていない部分のみを埋めよ。なお，受け取ったカードの組み合わせが正しければ，その番号の並び順は問わない。
まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。
2解答
解答を見る答えはこの解答の中にあります
(2) カード1を受け取る人は3通り。その人が残りの8枚から選ぶ2枚は、直径の両端4組を除く 通りである。この人の図形が三角形なら、他の2人は円周上の3点を受け取るので必ず三角形。従って条件を満たす配り方は 通り、全配り方は 通りで、
(3) Aが三角形を作らないには、各回Aが中心1と直径の両端の一組を受け取る必要がある。条件①によりその4組は重複できず、4回で全てを一度ずつ使う。2回目は残りからAが 。4回目のCは2,8を含むため、Aの直径組は または だが、前者は2回目Aと重なるので4回目Aは 。3回目Aは残りの固定カードから または で、後者は4回目と重なるため 。従って1回目Aは 。
2回目のBの残り一枚は8または9。8なら辺 が3回目Aと重なるのでBは9、Cは8。3回目のBの残り一枚は5または9。9なら辺 が2回目Bと重なるのでBは5、Cは9。
1回目に残るカードは 。Bは3を含む。7を含むと辺 が2回目Aと重なり、5を含むと辺 が3回目Bと重なる。追加2枚を から選ぶと、 は3回目Aの辺、 は2回目Bの辺と重なる。よって1回目Bは 、Cは 。
4回目Cの残り一枚は のいずれか。3なら辺 が3回目B、4なら辺 が3回目A、6なら辺 が1回目Aと重なる。従って4回目Cは 、Bは 。答えをまとめると 各行は9枚を重複なく分け、異なる行の間でも各二点を結ぶ辺は重複しない。
PR
数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」
数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。
「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉
東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」
トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。
トウコベ公式サイト
似た問題を、ほかの大学で
答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。