I愛知医科大学 2023年 数学 第I問解答・解説

愛知医科大学 2023年度 医学部一般選抜 数学 I

問題 ID: `MM-1f16746c14e5-Q1`

1)(a)

$x>0$ で積の微分法を用いると $$\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{x}\right) =\frac{x\cdot(1/x)-\log x}{x^2} =\boxed{\frac{1-\log x}{x^2}}.$$

1)(b)

$x=\sqrt2\sin\theta$（$0\le\theta\le\pi/2$）とおくと、$dx=\sqrt2\cos\theta\,d\theta$ かつ $\sqrt{1-x^2/2}=\cos\theta$。よって $$\displaystyle \int_0^{\sqrt2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}\,dx =\sqrt2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta =\sqrt2\cdot\frac\pi4 =\boxed{\frac{\pi\sqrt2}{4}}.$$

1)(c)

和積公式から $$\displaystyle \sin\frac\pi{24}+\sin\frac{7\pi}{24} =2\sin\frac\pi6\cos\left(-\frac\pi8\right) =\cos\frac\pi8 =\boxed{\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2}.$$

2)(a) 直角三角形

円周角の定理より、円に内接する三角形が直角三角形となるのは、斜辺が直径のときに限る。正 $n$ 角形（$n$ は偶数）には直径となる対頂点の組が $n/2$ 組あり、各組に対して残る $n-2$ 頂点から直角頂点を選べる。斜辺は一意なので重複はなく、 $$\displaystyle \boxed{\frac n2(n-2)=\frac{n(n-2)}2\text{ 個}}.$$

2)(b) 鈍角三角形

選んだ3頂点を円周順に並べ、隣り合う頂点間の辺数（円周上の間隔）を $r,s,t$ とする。$r+s+t=n$ で、三角形の内角はそれぞれ $\pi r/n,\pi s/n,\pi t/n$ となる。従って鈍角三角形は、3つの間隔のうちちょうど1つが $n/2$ より大きい場合である。

大きい間隔を $k>n/2$ として、その始点の頂点は $n$ 通り。残る $n-k$ 個の辺数を2つの正整数に分ける方法は $n-k-1$ 通り。大きい間隔は一つに限られるので $$\displaystyle \begin{aligned} N_{\rm obtuse} &=n\sum\limits _{k=n/2+1}^{n-2}(n-k-1) =n\sum\limits _{j=1}^{n/2-2}j\\ &=\boxed{\frac{n(n-4)(n-2)}8\text{ 個}}. \end{aligned}$$ $n=4$ のとき和は空で0となり、同じ式が成り立つ。

2)(c) 鋭角三角形

全三角形は $\displaystyle \binom n3$ 個で、それぞれ直角・鈍角・鋭角のいずれか一つである。従って $$\displaystyle \begin{aligned} N_{\rm acute} &=\binom n3-\frac{n(n-2)}2-\frac{n(n-4)(n-2)}8\\ &=\boxed{\frac{n(n-2)(n-4)}{24}\text{ 個}}. \end{aligned}$$

3)(a) $5/8$ の初出位置

分母 $k$ ごとに $1/k,2/k,\ldots,k/k$ の $k$ 項が並ぶ。既約分数 $5/8$ が初めて現れるのは分母8の組で、その前には $$1+2+\cdots+7=28$$ 項ある。分母8の組の5番目だから、第 $28+5=\boxed{33}$ 項。

3)(b) 第200項

分母 $k$ の組までの項数は $T_k=k(k+1)/2$。$T_{19}=190<200\le210=T_{20}$ だから、第200項は分母20の組の10番目であり、 $$\displaystyle \boxed{\frac{10}{20}=\frac12}.$$

3)(c) 初項から第200項までの和

分母 $k$ の組の和は $$\displaystyle \frac{1+2+\cdots+k}{k}=\frac{k+1}{2}.$$ 分母1から19までの組の和は $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{19}\frac{k+1}{2} =\frac{190+19}{2}=\frac{209}{2}.$$ 第200項までは分母20の組の初め10項を加えるので $$\displaystyle \frac{1+2+\cdots+10}{20}=\frac{55}{20}=\frac{11}{4}.$$ 従って求める和は $$\displaystyle \frac{209}{2}+\frac{11}{4}=\boxed{\frac{429}{4}}.$$

**使用解法:** 商の微分、三角置換、和積公式、円周角と円周上の間隔による三角形計数、群ごとの項数・和の計算。