I愛知医科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

第I問

1)(a) 素因数分解すると $$2024=8\cdot253=2^3\cdot11\cdot23.$$ したがって正の約数の個数は $$(3+1)(1+1)(1+1)=16.$$

1)(b) 約数の総和は各素因数の指数を選ぶ和の積より $$(1+2+2^2+2^3)(1+11)(1+23)=15\cdot12\cdot24=4320.$$

2)(a) 各試合の勝敗は独立にAまたはBが確率 $1/2$ で勝つ。4試合目で初めて優勝が決まるには、4試合すべて同じ方が勝つ必要がある。よって $$\displaystyle 2\left(\frac12\right)^4=\frac18.$$

2)(b) 6試合目で優勝する者は、最初の5試合でちょうど3勝し、6試合目にも勝つ。最初の5試合における勝者の選び方は $\displaystyle \binom53$ 通りで、最終勝者はA,Bの2通り。全6試合の勝敗列は $2^6$ 通りだから $$\displaystyle \frac{2\binom53}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac5{16}.$$

3)(a) $\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol b=\overrightarrow{OB}$、$\boldsymbol c=\overrightarrow{OC}$ とおく。$\boldsymbol c=-\boldsymbol a-\boldsymbol b$ なので $$36=|\boldsymbol c|^2=|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2 =25+16+2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b.$$ 従って $$\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac52.$$

3)(b) $\theta=\angle AOB$ とすると $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|} =\frac{-5/2}{5\cdot4}=-\frac18.$$ 三角形の内積は退化していないので $0<\theta<\pi$、よって $$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{3\sqrt7}{8},\qquad [OAB]=\frac12\cdot5\cdot4\cdot\frac{3\sqrt7}{8} =\frac{15\sqrt7}{4}.$$ $\boldsymbol a+\boldsymbol b+\boldsymbol c=0$ より $O$ は $\triangle ABC$ の重心である。重心は三角形を同面積の3つの三角形に分けるので $$\displaystyle [ABC]=3[OAB]=\frac{45\sqrt7}{4}.$$

4) $a>0$ より分母 $(x^2+a)^{3/2}$ は常に正であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} f'(x) &=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}-\frac{x}{(x^2+a)^{3/2}}\\ &=\frac{x(x^2+a-1)}{(x^2+a)^{3/2}}. \end{aligned}$$ 臨界点が $x=0$ のほかに存在するのは $0<a<1$ のときで、そのとき $r=\sqrt{1-a}>0$ とおくと、導関数の符号は $$x<-r:-,\quad-r<x<0:+,\quad0<x<r:-,\quad x>r:+$$ の順である。従って $x=0$ で極大、$x=\pm r$ で極小となる。極値は $$\displaystyle f(0)=\sqrt a+\frac1{\sqrt a},\qquad f(\pm r)=1+1=2.$$ $a\ge1$ では $x^2+a-1\ge0$ となり、$f'$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正なので極大値をもたない。よって条件は $0<a<1$ である。

$$\displaystyle \boxed{ \begin{gathered} 1)(a)\ 16,\quad 1)(b)\ 4320,\quad 2)(a)\ \frac18,\quad 2)(b)\ \frac5{16},\\ 3)(a)\ -\frac52,\quad 3)(b)\ \frac{45\sqrt7}{4},\\ 4)(a)\ x(x^2+a-1),\quad 4)(b)\ 1,\quad 4)(c)\ \sqrt a+\frac1{\sqrt a},\quad 4)(d)\ 2 \end{gathered}}$$ 検算：$2^3\cdot11\cdot23=2024$。第2問(b)では優勝者が最初の5試合に3勝、相手が2勝するため途中終了しない。第3問(a)を戻すと $|\boldsymbol a+\boldsymbol b|^2=41-5=36$。第3問(b)は $\cos\theta=-1/8$ から $0<\sin\theta<1$ と面積の正値を確認。第4問で $0<a<1$ のとき $f(0)>2$ かつ導関数が $x=0$ で $+\to-$ と変わる。