II愛知医科大学 2024年 数学 第II問解答・解説

楕円上では $(x/2)^2+y^2=1$ である。コーシー・シュワルツの不等式より $$|ax+by|=|2a(x/2)+by|\le\sqrt{4a^2+b^2}\sqrt{(x/2)^2+y^2}=\sqrt{4a^2+b^2}.$$ よって直線 $AD$ が接線であることから $$\displaystyle d_1=\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ $AD$ の法線ベクトルは $(a,b)$。隣辺 $AB$ の法線ベクトルは $(-b,a)$ だから、同様に $$\displaystyle d_2=\frac{\sqrt{a^2+4b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ 長方形の辺の長さは $2d_1,2d_2$ なので $$L=2\sqrt{d_1^2+d_2^2}=2\sqrt5,\qquad S=4d_1d_2.$$ $\displaystyle u=\frac{a^2}{a^2+b^2}$ とおけば $0\le u\le1$ であり、 $$\displaystyle \frac{S^2}{16}=(1+3u)(4-3u)=\frac{25}{4}-9\left(u-\frac12\right)^2\le\frac{25}{4}.$$ したがって $S\le10$。等号は $\displaystyle u=\frac12$、すなわち $a^2=b^2$ のときに成立する。

$a=b=1$ とすれば接線は $x+y=\pm\sqrt5$ および $-x+y=\pm\sqrt5$。交点は $$(\sqrt5,0),\quad(0,\sqrt5),\quad(-\sqrt5,0),\quad(0,-\sqrt5).$$

楕円上の点では $\displaystyle \left(\frac{x}{2}\right)^2+y^2=1$ である。コーシー・シュワルツの不等式より $|ax+by|=|2a(x/2)+by|\le\sqrt{4a^2+b^2}$。したがって接線ADまでの距離は $\displaystyle d_1=\frac{\sqrt{4a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}$。ADの法線を$(a,b)$とすると、隣辺ABの法線は$(-b,a)$なので $\displaystyle d_2=\frac{\sqrt{a^2+4b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}$。長方形の辺の長さは$2d_1,\quad2d_2$であるから $L=2\sqrt{d_1^2+d_2^2}=2\sqrt5$、面積は $S=4d_1d_2$。$\displaystyle u=\frac{a^2}{a^2+b^2}$ と置けば$0\le u\le1$で、$\displaystyle \frac{S^2}{16}=(1+3u)(4-3u)=\frac{25}{4}-9\left(u-\frac12\right)^2\le\frac{25}{4}$。等号は$a^2=b^2$で成立し、$S$ 最大値は$10$。$a=b=1$と置くと、接線の組は $x+y=\pm\sqrt5$、$-x+y=\pm\sqrt5$。これらの隣り合う直線の交点は $(\sqrt5,0),\ (0,\sqrt5),\ (-\sqrt5,0),\ (0,-\sqrt5)$。