1神戸大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $x^3-x=x(x-1)(x+1)$ の符号より $$f(x)=\begin{cases}-x^3+x &(x\le-1\text{ または }0\le x\le1),\\x^3-x &(-1\le x\le0\text{ または }x\ge1).\end{cases}$$ 零点は $-1,0,1$。両端で $f(x)\to+\infty$。$-1<x<0$ と $0<x<1$ の範囲ではそれぞれ端点で0となる山形の部分を描く。零点は折れ曲がった極小点である。

(2) $x=-1$ は常に共有点。$x\ne-1$ では $$k=\begin{cases}-(x^2-x)&(x<-1),\\|x(x-1)|&(x>-1).\end{cases}$$ $x<-1$ では $x^2-x>2$ なので追加交点は $k<-2$ の場合だけ1個。$x>-1$ では、$-1<x<0$ の範囲の $x^2-x$ は2から0へ減少し、$x>1$ の範囲の $x(x-1)$ は0から増加する。$0<x<1$ では $\displaystyle x(1-x)=\frac14-(x-\frac12)^2$ だから最大値は $1/4$。よって $k=1/4$ では、常にある $x=-1$ に加えて $-1<x<0$、$0<x<1$、$x>1$ の各範囲に1点ずつあり、ちょうど4点。その他のkでは4点とならない。解くと4つのx座標は $$\displaystyle -1,\quad\frac{1-\sqrt2}{2},\quad\frac12,\quad\frac{1+\sqrt2}{2}.$$

絶対値の符号でグラフを区間ごとに描く。共有点のうちx=−1は常に存在する。他の点はx=−1の左右に分けて式を約分し、二次式の区間ごとの値域から交点数を数える。中央区間の最大値が1/4となる場合にだけ合計4点となる。