神戸大学 2025年数学第2問解答・解説

数と式数列

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1問題

神戸大学2025年度第2問

実数 $a$ に対して、 $a$ を超えない最大の整数を $k$ とするとき、 $a-k$ を $a$ の小数部分という。 $n$ を自然数とし、 $a_{n}=\sqrt{n^{2}+1}-n$ とおく。以下の問に答えよ。（配点30点）

(1) $0<a_{n}<1$ が成り立つことを示せ。

(2) $b_{n}$ を $\displaystyle \left(3n-\frac{1}{a_{n}}\right)$ の小数部分とする。 $b_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(3) $b_{n}$ を(2)で定めたものとする。 $m,n$ を異なる2つの自然数とするとき、 $a_{m}+b_{n}\ne 1$ であることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad 0<a_n<1\quad$ 。 (2) $\quad b_n=n+1-\sqrt{n^2+1}=1-a_n\quad$ 。 (3) $\quad m\ne n\quad$ なら $\quad a_m+b_n\ne1\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文のa_nは√(n²+1)−nで、a_n=1/(√(n²+1)+n)と有理化すれば0<a_n<1。3n−1/a_n=2n−√(n²+1)はn−1とnの間にあるため小数部分b_n=n+1−√(n²+1)=1−a_n。有理化した式の分母はnが大きくなると必ず大きくなるため、a_nは必ず小さくなる。したがってm≠nならa_m≠a_n、従ってa_m+b_n=1は起こらない。旧A076/currentが一致し、境界と相異性の根拠を点検。

この問題で使う考え方

有理化
小数部分の評価
狭義単調性

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