広島大学／2025年度／前期

広島大学 2025年数学第2問解答・解説

数と式図形と方程式指数関数・対数関数数列

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1問題

広島大学2025年度第2問

$a>0$ とし， $p$ を実数とする。

座標平面上の3点 $A(0,a),\quad B(-1,0),\quad C(1,0)$ を考える。

点 $P_{n},Q_{n},R_{n}\ (n=1,2,3,\dots)$ が以下の二つの条件を満たすとする。

(i) 点 $P_{1}$ は直線 $AB$ 上にあり， $x$ 座標が $p$ である。

(ii) 自然数 $n$ に対し，

・点 $P_{n}$ から $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点が $Q_{n}$ である。ただし，点 $P_{n}$ が $x$ 軸上にあるときは，点 $Q_{n}$ は $P_{n}$ と同じ点であるとする。

・点 $Q_{n}$ から直線 $AC$ に下ろした垂線と直線 $AC$ との交点が $R_{n}$ である。ただし，点 $Q_{n}$ が直線 $AC$ 上にあるときは，点 $R_{n}$ は $Q_{n}$ と同じ点であるとする。

・点 $R_{n}$ を通り $x$ 軸と平行な直線と直線 $AB$ との交点が $P_{n+1}$ である。

点 $P_{n}$ の $x$ 座標を $x_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 $R_{1}$ の座標を $a,p$ を用いて表せ。

(2) 命題「点 $P_{1}$ が線分 $AB$ 上にあるならば，点 $R_{1}$ は線分 $AC$ 上にある」が真であるような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし，線分は両端を含むものとする。

(3) $x_{n}$ を $a,n,p$ を用いて表せ。

(4) $a=2,\ p=0$ であるとき，不等式 $\left|x_{n+1}-x_{n}\right|<10^{-10}$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めよ。ただし， $\log_{10}2=0.3010$ とする。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $\displaystyle R_1=\left(\frac{p+a^2}{1+a^2},\frac{a(1-p)}{1+a^2}\right)$ 。（2） $p$ を固定した命題としては、 $p\notin[-1,0]$ なら前件が偽なので任意の $a>0$ で真。 $-1\leq p\leq0$ なら $a\geq\sqrt{-p}$ で真。線分 $AB$ 上の任意の $P_1$ について成立する $a$ の範囲は $a\geq1$ 。（3） $\displaystyle x_n=-\frac{a^2}{a^2+2}+\left(p+\frac{a^2}{a^2+2}\right)\left(-\frac{1}{1+a^2}\right)^{n-1}$ 。（4） $n=16$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

点検した論証 $AB:y=a(x+1)$ 、 $AC:y=a(1-x)$ 。 $P_n=(x_n,a(x_n+1))$ 、 $Q_n=(x_n,0)$ 。 $Q_nR_n$ の傾きは $1/a$ なので、ACの式と連立して $\displaystyle R_n=\left(\frac{x_n+a^2}{1+a^2},\frac{a(1-x_n)}{1+a^2}\right)$ 。特殊にQ_nがAC上でも同式はR_n=Q_nを返す。

(2)で $P_1$ が線分 $AB$ 上にあるための必要十分条件は $-1\leq p\leq0$ である。 $R_1$ が線分 $AC$ 上にあるための必要十分条件は $\displaystyle 0\leq\frac{p+a^2}{1+a^2}\leq1$ である。前件のもとで上側は自動、下側は $p\geq-a^2$ 。固定pなら該当区間外では含意は空真、区間内では $a\geq\sqrt{-p}$ 。全P1についての一様条件はp=−1を含むため $a\geq1$ 。既存答案は双方の読みを区別して記す。

水平線で戻ると $\displaystyle x_{n+1}=-\frac{x_n+a^2}{1+a^2}$ 。固定点 $\displaystyle c=-\frac{a^2}{a^2+2}$ を引くと $\displaystyle x_{n+1}-c=-\frac{x_n-c}{1+a^2}$ 、よって $\displaystyle x_n=c+(p-c)\left(-\frac{1}{1+a^2}\right)^{n-1}$ 。最後に $a=2,\ p=0$ を代入し、隣接差は $\displaystyle \frac4{5^n}$ 。 $\log_{10}4=0.6020,\ \log_{10}5=0.6990$ から $n=15$ では $10^{-10}$ より大きく、 $n=16$ で小さい。最小n=16。

分類 - 単元: 数と式、図形と方程式、常用対数、数列。 - 方法: 座標直線、垂線の傾き、含意と区間包含、一次漸化式、固定点、対数比較。 - テーマ: 射影の反復を一次漸化式で表し、誤差の減衰を評価する。

対象・入力記録

表示修復記録

前版の数式が数式モード外に出ていた箇所をインライン・別行数式に整形し、本文と式を読み分けられるようにした。数学的主張・計算・結論は変更していない。修復前ファイルは `history/transfer08-display-repair-20261001/MM-7e038cf2d1bd-Q2/` に保存した。

この問題で使う考え方

命題と必要十分条件
直線の方程式
常用対数
対数とその性質
漸化式
等比数列の一般項と和

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