4広島大学 2025年 数学 第4問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】小問(3)・(4)では、この問題の箱およびカードの選択を、選べる各対象が等確率となる一様な選択と解釈します。以下の確率式はこの解釈に基づきます。

(1) 箱 $A_{3n+1}$ には $1,2,\ldots,3n+1$ が1枚ずつ入っている。$N=3n+1$ とおくと、 $$\displaystyle L=\frac{1+2+\cdots+N}{N}=\frac{N+1}{2}=\frac{3n+2}{2}.$$

(2) 全カードの枚数を $T$、書かれた整数の総和を $S$ とする。各 $A_k$ のカードの和は $\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$ なので、 $$\displaystyle T=\sum\limits _{k=1}^{N}k=\frac{N(N+1)}2.$$ また、$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{N}k^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}6$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\sum\limits _{k=1}^{N}\frac{k(k+1)}2 =\frac12\left(\sum\limits _{k=1}^{N}k^2+\sum\limits _{k=1}^{N}k\right)\\ &=\frac12\left(\frac{N(N+1)(2N+1)}6+\frac{N(N+1)}2\right) =\frac{N(N+1)(N+2)}6. \end{aligned}$$ したがって、 $$\displaystyle M=\frac ST=\frac{N+2}{3}=n+1.$$

(3) 数 $M=n+1$ のカードは、$k\ge n+1$ の箱 $A_k$ に1枚ずつある。その枚数は $$(3n+1)-(n+1)+1=2n+1$$ であり、全カードの枚数は $\displaystyle T=\frac{(3n+1)(3n+2)}2$ だから、 $$\displaystyle P(n)=\frac{2n+1}{T}=\frac{2(2n+1)}{(3n+1)(3n+2)}.$$

(4) ケース $C$ にあるのは $A_{n+1},A_{n+2},\ldots,A_{3n+1}$ の $2n+1$ 個の箱である。箱を一様に1個選ぶので、カードが $M$ である確率は $$\displaystyle \Pr(\text{カードの数が }M)=\frac1{2n+1}\sum\limits _{k=n+1}^{3n+1}\frac1k.$$ カードの数が $M$ で、かつ箱 $A_{3n+1}$ から取り出される確率は $$\displaystyle \Pr(\text{カードの数が }M,\ A_{3n+1})=\frac1{2n+1}\cdot\frac1{3n+1}.$$ よって条件付き確率は $$\displaystyle Q(n)=\frac{1}{(3n+1)\displaystyle\sum\limits _{k=n+1}^{3n+1}\frac1k}.$$ $1/x$ は正の範囲で単調減少するから、積分比較により $$\displaystyle \int_{n+1}^{3n+2}\frac{dx}{x} \leq\sum\limits _{k=n+1}^{3n+1}\frac1k \leq\int_n^{3n+1}\frac{dx}{x}.$$ したがって $$\displaystyle \ln\frac{3n+2}{n+1} \leq\sum\limits _{k=n+1}^{3n+1}\frac1k \leq\ln\frac{3n+1}{n},$$ 両端は $\ln 3$ に収束する。ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}nQ(n) =\lim\limits _{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}\cdot\frac1{\displaystyle\sum\limits _{k=n+1}^{3n+1}\frac1k} =\frac1{3\ln 3}.$$