III北里大学 2009年 数学 第III問解答・解説

漸化式は

$$\displaystyle x_{n+1}=\frac32x_n-10$$

である。定数項を消すため、$\displaystyle 20=\frac32\cdot20-10$ に注目して

$$\displaystyle x_{n+1}-20=\frac32(x_n-20)$$

と変形する。これを繰り返すと

$$\displaystyle x_n-20=\left(\frac32\right)^{n-1}(x_1-20), \qquad x_n=20+\left(\frac32\right)^{n-1}(x_1-20).$$

また、

$$\displaystyle x_{n+1}-x_n=\frac12(x_n-20)$$

である。$x_n-20$ の符号は初項との差 $x_1-20$ と同じであるから、$x_1>20$ なら各差が正で増加、$x_1<20$ なら各差が負で減少となる。したがって

(1) コ

問題文の境界定数は

$$A=20.$$

よってコは $20$（選択肢1）。

(2) サ

$x_1=36$ のとき

$$\displaystyle x_n=20+16\left(\frac32\right)^{n-1}.$$

求める条件は

$$\displaystyle 16\left(\frac32\right)^{n-1}>2^{20},$$

すなわち

$$\displaystyle \left(\frac32\right)^{n-1}>2^{16}.$$

底を $2$ とする対数をとり、問題文の $\log_2 3=1.585$ を使うと

$$(n-1)(1.585-1)>16 \quad\text{すなわち}\quad 0.585(n-1)>16.$$

$n=28$ では左辺は $0.585\cdot27=15.795<16$、$n=29$ では $0.585\cdot28=16.38>16$。よって条件を満たす最小の $n$ は $29$ であり、サは $29$（選択肢6）。

(3) シ

第5項まで正で第6項以降が負となるには、数列は $20$ より小さい初項から始まって減少する必要がある。整数 $m=x_1$ とおくと、境界となる第5項と第6項の条件は

$$\displaystyle x_5=20+\frac{81}{16}(m-20)>0,\qquad x_6=20+\frac{243}{32}(m-20)<0.$$

前者から $81m>1300$、後者から $243m<4220$ を得る。したがって

$$\displaystyle \frac{1300}{81}<m<\frac{4220}{243}.$$

この範囲にある正の整数は $m=17$ だけである。実際、

$$\displaystyle x_5=20-\frac{243}{16}=\frac{77}{16}>0,\qquad x_6=20-\frac{729}{32}=-\frac{89}{32}<0.$$

$x_1=17<20$ なら数列は減少するので、第1項から第5項までは $x_5>0$ によりすべて正、第6項以降は $x_6<0$ によりすべて負である。よって条件を満たす値は $17$、シは $17$（選択肢3）。

最終答案

- コ：$20$（選択肢1） - サ：$29$（選択肢6） - シ：$17$（選択肢3）

使用した解法

漸化式の定数解 $20$ を引いて等比数列に直し、一般項と階差の符号を求めた。対数による最小整数判定と、隣接する第5項・第6項の符号条件による整数の絞り込みを用いた。問題文と選択肢は原本の該当ページで確認した。