1兵庫医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 底が $10$ の常用対数をとると $$n\log_{10}6<20\log_{10}5<(n+1)\log_{10}6.$$ 与えられた値から $\log_{10}6=0.7781$, $\log_{10}5=1-0.3010=0.6990$ である。よって $$17\cdot0.7781=13.2277<20\cdot0.6990=13.9800<14.0058=18\cdot0.7781.$$ したがって $n=17$ である。

(2) 条件を平方完成すると $$(x-1)^2+y^2=4$$ となり、中心 $(1,0)$、半径 $2$ の円上を動く。

(a) 三角不等式より $$2=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\leq\sqrt{x^2+y^2}+1$$ なので $\sqrt{x^2+y^2}\geq1$ である。また $|x|+|y|\geq\sqrt{x^2+y^2}$ より $|x|+|y|\geq1$。円上の点 $(-1,0)$ で等号となるため、最小値は $1$、そのとき $(x,y)=(-1,0)$ である。

(b) $\displaystyle u=\dfrac{x-1}{2}$, $\displaystyle v=\dfrac y2$ とおくと $u^2+v^2=1$ であり、 $$|x|+|y|=|1+2u|+2|v|\leq1+2(|u|+|v|)\leq1+2\sqrt2.$$ 等号には $u\geq0$ かつ $\displaystyle |u|=|v|=\dfrac1{\sqrt2}$ が必要である。したがって最大値は $1+2\sqrt2$ で、そのとき $$(x,y)=(1+\sqrt2,\sqrt2),\quad(1+\sqrt2,-\sqrt2)$$ である。いずれも円の条件を満たす。

(3) 球の中心は直径の中点 $(1,4,7)$ である。直径の長さは $$\sqrt{(5+3)^2+(1-7)^2+(2-12)^2}=\sqrt{200}=10\sqrt2$$ だから半径は $5\sqrt2$。$z$ 軸上の点 $(0,0,z)$ が球面上にある条件は $$1^2+4^2+(z-7)^2=50,$$ すなわち $(z-7)^2=33$ である。交点は $z=7\pm\sqrt{33}$ なので、切り取る線分の長さは $2\sqrt{33}$。

(4) $t=x-1$ と置換すると $x+2=t+3$、積分区間は $-1\leq t\leq0$ だから $$\displaystyle \int_0^1(x+2)(x-1)^9\,dx =\int_{-1}^0(t+3)t^9\,dt =\left[\frac{t^{11}}{11}+\frac{3t^{10}}{10}\right]_{-1}^0 =-\frac{23}{110}.$$

(5) 総数の平均は男女平均の単純な平均ではなく、男女それぞれの人数を重みとした加重平均である。高校・旧制中卒の男性比率を $p_H$ とすると、表の値から $$\displaystyle p_H=\frac{303.5-186.1}{404.6-186.1}\fallingdotseq0.537,$$ 専門学校・短大・高専卒の男性比率を $p_S$ とすると $$\displaystyle p_S=\frac{278.6-216.6}{409.0-216.6}\fallingdotseq0.322.$$ 男性の平均所得は女性より高く、男性比率も高校・旧制中卒の方が大きい。そのため、男女別では専門学校等卒の平均が高くても、総数では高校・旧制中卒の平均が上回る。これは男女の構成比の違いによる加重平均の逆転であり、男女別の数値と矛盾しない。