1東邦大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) 平方完成すると $$x^2+2x+4=(x+1)^2+3\geq3,\qquad y^2-4y+15=(y-2)^2+11\geq11.$$ 両因子は正で、それぞれの最小値は同時に $x=-1,y=2$ でとる。したがって積の最小値は $3\cdot11=33$ である。

(2) 3桁の整数が偶数となるには一の位が $2,4,6$ のいずれかである。一の位を3通りに選ぶと、百の位は残り6通り、十の位は残り5通りだから、求める個数は $$3\cdot6\cdot5=90.$$

(3) 各集合の要素xの範囲は $$\displaystyle \begin{aligned} &A_1:\ \tfrac12\le x\le\tfrac34,\quad A_2:\ 1\le x\le\tfrac54,\quad A_3:\ \tfrac32\le x\le\tfrac74,\\ &B_1:\ \tfrac9{10}\le x\le\tfrac{11}{10},\quad B_2:\ \tfrac95\le x\le2,\quad B_3:\ \tfrac{27}{10}\le x\le\tfrac{29}{10}. \end{aligned}$$ これらを比べると$A$と$B$の共通部分は$A_2$と$B_1$の共通部分に一致し、$\displaystyle 1\le x\le\tfrac{11}{10}$ を満たす数全体である。よって最大値は $\displaystyle \frac{11}{10}$ である。

(4) 行列の積を繰り返して計算する。まず $$A^2=A+I,\qquad B^2=B+I$$ である。よってそれぞれ $X=A,B$ について $X^{r+2}=X^{r+1}+X^r$ が成り立つ。これを $X^0=I$, $X^1=X$ から順に用いると $$A^8=\begin{pmatrix}34&21\\21&13\end{pmatrix},\qquad B^8=\begin{pmatrix}13&21\\21&34\end{pmatrix}.$$ したがって $$A^8-B^8=\begin{pmatrix}21&0\\0&-21\end{pmatrix}=21C,$$ ゆえに $\text{エ}=21$ である。

(5) 定義域は $x>0,\ x\ne1$ である。$t=\log_2x$ とおくと $t\ne0$ かつ $\log_x2=1/t$ なので、方程式は $$\displaystyle \frac9t+t=6\quad\text{すなわち}\quad t^2-6t+9=0\quad\text{すなわち}\quad t=3.$$ よって $x=2^3=8$ であり、定義域も満たす。

(6) $\displaystyle u=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\frac\pi4)$ とおけば $-\sqrt2\leq u\leq\sqrt2$ である。また $2\sin x\cos x=u^2-1$ より、与式は $$u^2+3\sqrt2u+4$$ となる。ここで $$u^2+3\sqrt2u+4-12=(u-\sqrt2)(u+4\sqrt2)\leq0$$ である（$u-\sqrt2\leq0$, $u+4\sqrt2>0$）。等号は $u=\sqrt2$ のときに成り立つので、最大値は $12$ である。

(7) $x\ne0$ で $$\displaystyle \frac1{x^2}\left(1-\frac1{\cos^2x}\right)=-\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2.$$ $\displaystyle \frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cos x}\to1$ より、極限値は $-1$ である。

(8) 条件を満たす $(s,t)$ の範囲は、頂点 $\displaystyle (0,0),(1,0),(0,\frac12)$ をもつ三角形である。写像 $\overrightarrow{OP}=s(3,0)+t(1,1)=(3s+t,t)$ によって、これらはそれぞれ $\displaystyle (0,0),(3,0),(\frac12,\frac12)$ に移る。像も三角形であり、底辺の長さは3、高さは $\displaystyle \frac12$ だから、その面積は $$\displaystyle \frac12\cdot3\cdot\frac12=\frac34.$$

(9) 傾きを $m>0$ とし、直線を $y=m(x+1)$ と表す。円周上の点 $(-1,0)$ から傾きの方向へ単位距離進む単位ベクトルは $\displaystyle \frac{(1,m)}{\sqrt{1+m^2}}$ である。そこから距離 $\lambda$ の点は $$\displaystyle \left(-1+\frac{\lambda}{\sqrt{1+m^2}},\frac{m\lambda}{\sqrt{1+m^2}}\right)$$ であり、円周上にある条件を代入すると $\displaystyle \lambda(\lambda-\frac{2}{\sqrt{1+m^2}})=0$ を得る。二つの交点間の距離、すなわち円の内部にある部分の長さは $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$ である。これが $\displaystyle \frac12$ だから $\sqrt{1+m^2}=4$。$m>0$ より傾きは $\sqrt{15}$ である。

(10) 放物線の導関数は $2x$ なので、$(-2,0)$ における接線は $y=-4(x+2)$ である。$-2\leq x\leq0$ で放物線と接線の差は $$(x^2-4)-(-4(x+2))=(x+2)^2\geq0.$$ よって、求める面積は $$\displaystyle \int_{-2}^{0}(x+2)^2\,dx=\frac83.$$