2東邦大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $\cos\theta\overrightarrow{OA}+(1-\sin\theta)\overrightarrow{OB}=(3\cos\theta+1-\sin\theta,-\cos\theta+3-3\sin\theta)$ である。$u=\cos\theta, v=\sin\theta$ とおくと $$x-1=3u-v,\qquad y-3=-u-3v.$$ したがって $$(x-1)^2+(y-3)^2=(3u-v)^2+(-u-3v)^2=10(u^2+v^2)=10.$$ 逆にこの円上の点に対して $$\displaystyle u=\frac{3(x-1)-(y-3)}{10},\qquad v=\frac{-(x-1)-3(y-3)}{10}$$ とおけば、$u^2+v^2=((x-1)^2+(y-3)^2)/10=1$ である。よってある実数 $\theta$ に対して $u=\cos\theta,v=\sin\theta$ と表せるので、この円全体が軌跡である。したがって $$(x-1)^2+(y-3)^2=10$$ が求める方程式である。

(2) $f(x)=x^3-3x^2-9x+a$ とおくと $$f'(x)=3(x+1)(x-3).$$ よって $f$ は $x=-1$ まで増加し、$-1<x<3$ で減少し、$x=3$ 以降増加する。極大値と極小値はそれぞれ $$f(-1)=a+5,\qquad f(3)=a-27$$ である。三次関数は左端で負の無限大、右端で正の無限大に向かう。したがって異なる3実根をもつための必要十分条件は極大値が正、極小値が負となることである。等号の場合は極値で重解をもち、異なる3実根にはならない。ゆえに $$a+5>0,\qquad a-27<0,$$ すなわち $$-5<a<27$$ である。