17自治医科大学 2009年 数学 第17問解答・解説

$C_2$ の半径を $d=AR$ とおく。$R$ は直径 $AB$ 上にあるので $0\le d\le 2r$ である。座標を $O=(0,0),\ A=(r,0)$ とし、$P=(x,y),\ Q=(x,-y)$ とおく。$P$ は両円上にあるから $$x^2+y^2=r^2,\qquad (x-r)^2+y^2=d^2.$$ この2式の差から $\displaystyle x=r-\dfrac{d^2}{2r}$ となり、したがって $$\displaystyle y^2=r^2-\left(r-\frac{d^2}{2r}\right)^2=d^2\left(1-\frac{d^2}{4r^2}\right).$$ $\displaystyle t=\dfrac{d^2}{4r^2}$ とおくと $0\le t\le1$ であり、$AR=2r\sqrt t,\ PQ=2|y|=4r\sqrt{t(1-t)}$ である。$AR$ は $x$ 軸上、$PQ$ はそれに垂直なので、四角形 $APRQ$ の面積を $S$ とすると $$\displaystyle S=\frac12\,AR\cdot PQ=4r^2t\sqrt{1-t}.$$ $S\ge0$ なので、$S^2$ を最大にすればよい。$0\le t\le1$ で $g(t)=t^2(1-t)$ とおくと $$g\prime(t)=t(2-3t).$$ $g$ は $\displaystyle 0\le t\le\dfrac23$ で増加し、$\displaystyle \dfrac23\le t\le1$ で減少する。また端点では $g(0)=g(1)=0$ だから、最大値は $\displaystyle t=\dfrac23$ のときの $\displaystyle \dfrac4{27}$ である。よって $$\displaystyle S_{\max}=4r^2\cdot\frac23\cdot\sqrt{\frac13}=\frac{8r^2}{3\sqrt3}=\frac{8}{3\sqrt3}\cdot\frac9{\sqrt3}=8.$$ したがって、四角形 $APRQ$ の面積の最大値は $8$（選択肢ラ）である。