2自治医科大学 2009年 数学 第2問解答・解説

対数が定義されているため、$x>0,\; y>0,\; x\ne1,\; y\ne1$ である。$t=\log_x y$ とおくと、$y\ne1$ より $t\ne0$ であり、$\log_y x=1/t$ である。対数の性質から、与式は $$\displaystyle 2t+\frac{2}{t}=5$$ となる。$t\ne0$ に注意して両辺に $t$ を掛けると $$2t^2-5t+2=0,\qquad (2t-1)(t-2)=0$$ だから、$t=2$ または $t=1/2$ である。

$t=2$ のとき $y=x^2$ なので、$x-2x^2=3$、すなわち $2x^2-x+3=0$ となる。しかしこの二次方程式の判別式は $(-1)^2-4\cdot2\cdot3=-23<0$ であり、実数解をもたない。

$t=1/2$ のとき $y=\sqrt{x}$ である。$u=\sqrt{x}>0$ とおけば $$u^2-2u=3,\qquad (u-3)(u+1)=0$$ となる。$u>0$ より $u=3$、したがって $x=9,\; y=3$ である。実際、 $$\log_9 3^2+\log_3 9^2=1+4=5,\qquad 9-2\cdot3=3$$ であり、対数の底も $9,3\ne1$ なので条件を満たす。以上から求める値は $x=9$ であり、選択肢はワである。