16自治医科大学 2009年 数学 第16問解答・解説

点 $(t,0)$ と直線 $Ax+By+C=0$ との距離は $\displaystyle \dfrac{|At+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ である。ここで $t>0$ なので、2直線に対する距離はそれぞれ $$\displaystyle \dfrac{|3t+10|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{3t+10}{5},\qquad \dfrac{|12t+5|}{\sqrt{12^2+5^2}}=\dfrac{12t+5}{13}.$$ 距離が等しいから $$\displaystyle \dfrac{3t+10}{5}=\dfrac{12t+5}{13}.$$ よって $$13(3t+10)=5(12t+5),\qquad 39t+130=60t+25,\qquad t=5.$$ この値は $t>0$ を満たす。また代入すると2つの距離はともに $5$ となる。したがって答えは $t=5$（選択肢ハ）である。