自治医科大学 2009年数学第25問解答・解説

微分・積分の考え

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1問題

自治医科大学2009年度第25問

曲線 $y=|x^{2}-4x+3|$ と，3つの直線 $y=0,\ x=0,\ x=5$ とで囲まれる面積を $S$ とする。 $\displaystyle \left|S-\frac{1}{3}\right|$ の値を求めよ。

選択肢：ア $0$ ，カ $1$ ，サ $2$ ，タ $3$ ，ナ $4$ ，ハ $5$ ，マ $6$ ，ヤ $7$ ，ラ $8$ ，ワ $9$ 。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

二次式の符号が変わる根で積分区間を分割し、定積分の絶対値から面積を計算する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \left|S-\frac13\right|=9$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$ であり、この二次式は $x=1,3$ で符号が変わる。したがって、 $0\leq x\leq1$ および $3\leq x\leq5$ では正、 $1\leq x\leq3$ では負である。面積を求めるための原始関数を $\displaystyle F(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x$ とすると $\displaystyle S=\int_{0}^{1}(x^{2}-4x+3)\,dx-\int_{1}^{3}(x^{2}-4x+3)\,dx+\int_{3}^{5}(x^{2}-4x+3)\,dx.$ ここで $\displaystyle F(0)=0,\quad F(1)=\frac43,\quad F(3)=0,\quad F(5)=\frac{20}{3}$ だから $\displaystyle S=\left(F(1)-F(0)\right)-\left(F(3)-F(1)\right)+\left(F(5)-F(3)\right) =\frac43+\frac43+\frac{20}{3}=\frac{28}{3}.$ よって $\displaystyle \left|S-\frac13\right|=\left|\frac{28}{3}-\frac13\right|=9.$

この問題で使う考え方

不定積分
定積分
定積分による面積

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