4自治医科大学 2009年 数学 第4問解答・解説

解と係数の関係から $$\alpha+\beta=-p,\quad \alpha\beta=q.$$ $q>0$ なので $q\ne0$ であり、逆数の和を通分すると $$\displaystyle 1=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{\alpha+\beta}{q}.$$ したがって $\alpha+\beta=q$ である。また $$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=q^2-2q=3,$$ より $$q^2-2q-3=(q-3)(q+1)=0.$$ $q>0$ だから $q=3$ である。

この値が条件と両立することも確かめる。$p=-3,\;q=3$ とすると、方程式は $x^2-3x+3=0$ となり、その判別式は $9-12=-3$ である。したがって、この方程式は二つの複素数解をもち、順不同で $$\displaystyle \alpha=\frac{3+i\sqrt{3}}{2},\quad \beta=\frac{3-i\sqrt{3}}{2}$$ と書ける。この解の和と積はそれぞれ3なので、$\alpha^2+\beta^2=3^2-2\cdot3=3$、$\displaystyle \frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{3}{3}=1$ となり、条件を満たす。答えは3（タ）である。