9自治医科大学 2009年 数学 第9問解答・解説

三角形の内角の和より、$\angle C=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ$ である。加法定理を用いると、$$\displaystyle \sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$ 正弦定理より、$$\displaystyle \frac{a}{\sin75^\circ}=\frac{AB}{\sin45^\circ},\qquad a=8\sqrt{2}\cdot\frac{\sin75^\circ}{\sin45^\circ}=16\sin75^\circ=4(\sqrt{6}+\sqrt{2}).$$ したがって、$$\displaystyle \left(\frac{a}{4}-\sqrt{2}\right)^2=(\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{2})^2=6.$$ よって答えは $6$（選択肢マ）である。