13自治医科大学 2009年 数学 第13問解答・解説

直線 $y=x-1$ を円の方程式に代入すると $$x^2+(x-1)^2-4x-(x-1)+4=0,$$ すなわち $$2x^2-7x+6=(2x-3)(x-2)=0$$ となる。したがって、交点の $x$ 座標は $\displaystyle \frac32,2$ であり、対応する点は $\displaystyle P=(\frac32,\frac12)$、$Q=(2,1)$（またはその逆）である。よって弦の長さ $a$ について $$\displaystyle a^2=\left(2-\frac32\right)^2+\left(1-\frac12\right)^2=\frac14+\frac14=\frac12.$$ したがって $$2a^2=1.$$ 以上より、求める値は $1$（選択肢カ）である。