5宮崎大学 2010年 数学 第5問解答・解説

円$C_1,C_2$の中心はそれぞれ(-1,1),(1,1)、半径はいずれも1である。三角形PABが両円を含むので、Aのx座標をα、Bのx座標をβとするとα$\leq$ -1、β$\geq$ 1である。

まず、中心(c,1)の円に対し、P(a,b)とx軸上の点(t,0)を通る直線は$$bx+(t-a)y-bt=0$$である。この直線が円に接する条件は、中心(c,1)から直線までの距離が1であることだから、$$\{bc+t-a-bt\}^2=b^2+(t-a)^2.$$ここでK=b(b-2)>0とおき、u=t-a、d=c-aとすると、この式は$$(b-2)u^2-2d(b-1)u+b(d^2-1)=0$$となる。これを解いて、接線のx切片は$$\displaystyle t=\frac{(b-1)c-a\pm\sqrt{(c-a)^2+K}}{b-2}$$である。

C_1では切片が-1以下となる方を選び、C_2では切片が1以上となる方を選ぶ。$$R_1=\sqrt{(a+1)^2+K},\qquad R_2=\sqrt{(a-1)^2+K}$$とおくと、$$\displaystyle \alpha=\frac{-(b-1)-a-R_1}{b-2},\qquad \beta=\frac{b-1-a+R_2}{b-2}.$$したがって$$\displaystyle AB=\beta-\alpha=\frac{2(b-1)+R_1+R_2}{b-2}.$$

ここでX=1+Kとおけば、R_1^2=a^2+X+2a、R_2^2=a^2+X-2aであるから、$$(R_1+R_2)^2-4X=2\left(a^2-X+\sqrt{(a^2+X)^2-4a^2}\right).$$また$$(a^2+X)^2-4a^2-(X-a^2)^2=4Ka^2\geq0$$より、$$\sqrt{(a^2+X)^2-4a^2}\geq |X-a^2|\geq X-a^2.$$よって(R_1+R_2)^2$\geq$4Xであり、等号はa=0のときに限る。さらにX=1+b(b-2)=(b-1)^2、b>2だから、R_1+R_2$\geq$2(b-1)。よってABはa=0のとき最小となり、その値は$$\displaystyle \frac{2(b-1)+2(b-1)}{b-2}=\frac{4(b-1)}{b-2}$$である。

三角形PABの面積は$$\displaystyle S=\frac{b}{2}AB$$である。bを固定すれば、この面積もa=0のとき最小となる。そこでa=0とすると$$\displaystyle S=\frac{2b(b-1)}{b-2}.$$t=b-2>0とおけば$$\displaystyle S=2t+6+\frac4t\geq6+2\sqrt{2t\cdot\frac4t}=6+4\sqrt2.$$等号は2t=4/t、すなわちt=$\sqrt2$のとき成立する。これはb=2+$\sqrt2$に当たり、条件b>2を満たす。したがって面積の最小値は6+4$\sqrt2$である。