宮崎大学 2010年数学第1問解答・解説

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1問題

宮崎大学2010年度第1問

座標平面上に原点 $O(0,0)$ と点 $A(3,0)$ がある。自然数 $n$ に対して，点 $B_n(0,n)$ をとり， $\triangle AB_nO$ の境界を除いた内部に含まれる格子点の個数を $a_n$ とする。ただし， $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数の点を格子点という。このとき，次の各問に答えよ。

(1) $a_1,a_2,a_3$ の値を求めよ。

(2) 自然数 $k$ に対して， $n=3k$ とする。このとき， $\triangle AB_nO$ の境界を除いた内部に含まれる格子点のうち， $x$ 座標が1であるものの個数を， $k$ を用いて表せ。

(3) 自然数 $k$ に対して， $a_{3k}$ を， $k$ を用いて表せ。

(4) $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ とする。自然数 $m$ に対して， $S_{3m}$ を， $m$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 0,1,1. (2) 2k−1. (3) 3k−2. (4) m(9m−5)/2.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle a_n=\left\lfloor\frac{2n-1}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n-1}{3}\right\rfloor$ . (1) $(a_1,a_2,a_3)=(0,1,1)$ . (2) $n=3k$ : $x=1$ column $2k-1$ points. (3) $a_{3k}=(2k-1)+(k-1)=3k-2$ . (4) $\displaystyle S_{3m}=0+1+\cdots+(3m-1)-m=\frac{m(9m-5)}2$ .

この問題で使う考え方

格子点の列挙
床関数
剰余類の和

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