3宮崎大学 2010年 数学 第3問解答・解説

(1) 正方形の対角線 $AC$ と $BD$ は互いの中点で交わる。したがって、位置ベクトルを用いると $$\displaystyle \frac{\vec a+\vec c}{2}=\frac{\vec b+\overrightarrow{OD}}{2}$$ であり、 $$\overrightarrow{OD}=\vec a-\vec b+\vec c.$$

(2) $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$、また $|\vec a-\vec b|=|AB|=1$、$|\vec b-\vec c|=|BC|=1$、$|\vec c-\vec a|=|CA|=\sqrt2$ である。よって、 $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac{|\vec a|^2+|\vec b|^2-|\vec a-\vec b|^2}{2}=\frac12,\qquad \vec b\cdot\vec c=\frac{|\vec b|^2+|\vec c|^2-|\vec b-\vec c|^2}{2}=\frac12,$$ $$\displaystyle \vec c\cdot\vec a=\frac{|\vec c|^2+|\vec a|^2-|\vec c-\vec a|^2}{2}=0.$$

(3) $\vec p=\overrightarrow{OP}$ とおく。正四面体の条件から $|\vec p|=|\vec p-\vec b|=|\vec p-\vec c|=1$ なので、展開すると $\displaystyle \vec p\cdot\vec b=\vec p\cdot\vec c=\frac12$ である。ここで $$\displaystyle \vec q=\frac{\vec b+\vec c}{3},\qquad \vec m=\vec a-\frac23\vec b+\frac13\vec c$$ とおく。(2)より $\displaystyle \vec q\cdot\vec b=\vec q\cdot\vec c=\frac12$、$\vec m\cdot\vec b=\vec m\cdot\vec c=0$、また $\displaystyle |\vec q|^2=\frac13$、$\displaystyle |\vec m|^2=\frac23$ である。したがって $\vec p-\vec q$ は $\vec b,\vec c$ の両方に垂直であり、同じくそれらに垂直な $\vec m$ の実数倍である。よって $\vec p=\vec q+t\vec m$ とおける。$\vec q\cdot\vec m=0$ より $$\displaystyle 1=|\vec p|^2=|\vec q|^2+t^2|\vec m|^2=\frac13+\frac23t^2$$ となるから、$t=1$ または $t=-1$。それぞれ $$\displaystyle \vec p=\vec q+\vec m=\vec a-\frac13\vec b+\frac23\vec c,\qquad \vec p=\vec q-\vec m=\vec b-\vec a.$$ 両候補について $|\vec p|=1$、$\displaystyle \vec p\cdot\vec b=\vec p\cdot\vec c=\frac12$ だから、$|\vec p-\vec b|=|\vec p-\vec c|=1$ も成り立つ。よって両方とも条件を満たし、これ以外の点はない。

正方形の対角線の中点一致からODを表す。辺長・対角線長を使って内積を決め、PからB,Cまでの長さ条件を内積条件に直して、二つの法線方向の候補を求める。