4東北大学 2010年 数学 第4問解答・解説

$M,N$ の位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf m,\mathbf n$ とする。中点の性質から任意の点 $X$ について $$\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}=2\overrightarrow{XM},\qquad \overrightarrow{XC}+\overrightarrow{XD}=2\overrightarrow{XN}.$$ また $M\ne N$ である。もし $M=N$ なら、直線 $AB$ と $CD$ はともに $M$ を通り、4点 $A,B,C,D$ は同一平面上にあるため、四面体に反する。

(1) 与式は $2\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PN}$、したがって $M=N$ と同値である。これは不可能なので、そのような点 $P$ は存在しない。

(2) 中点の関係から $$|\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}|=2|QM|,\qquad |\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{QD}|=2|QN|.$$ したがって条件は $QM=QN$ と同値である。軌跡は線分 $MN$ の垂直二等分平面である。

(3) $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$ なので、 $$\displaystyle \begin{aligned} |RA|^2+|RB|^2 &=|\overrightarrow{RM}+\overrightarrow{MA}|^2 +|\overrightarrow{RM}+\overrightarrow{MB}|^2\\ &=2|RM|^2+2|MA|^2 =2|RM|^2+\frac12|AB|^2. \end{aligned}$$ 同様に $\displaystyle |RC|^2+|RD|^2=2|RN|^2+\frac12|CD|^2$ だから、与式は $$\displaystyle |RM|^2-|RN|^2=\frac{|CD|^2-|AB|^2}{4}$$ と同値である。$\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MR}$ より $$|RM|^2-|RN|^2=2\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MR}-|MN|^2.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MR} =\frac12|MN|^2+\frac18\bigl(|CD|^2-|AB|^2\bigr)},$$ 右辺は $R$ によらない一定値である。

(4) (2) の垂直二等分平面は $$\displaystyle \overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MQ}=\frac12|MN|^2$$ で表される。(3) の軌跡も法線が $\overrightarrow{MN}$ の平面で、その定数項は $\displaystyle \frac12|MN|^2+\frac18(|CD|^2-|AB|^2)$ である。$M\ne N$ なので両平面が一致する必要十分条件は定数項が等しいこと、すなわち $$|CD|^2=|AB|^2\quad\text{すなわち}\quad\boxed{|AB|=|CD|}.$$