2大分大学 2025年 数学 第2問解答・解説

$\overrightarrow{AB}=\mathbf u,\ \overrightarrow{AC}=\mathbf v$、$S=|\mathbf u|^2+|\mathbf v|^2$、$d=\mathbf u\cdot\mathbf v$ とする。まず $\overrightarrow{BC}=\mathbf v-\mathbf u$ だから条件は $$S=5|\mathbf v-\mathbf u|^2=5(S-2d).$$ これより $d=2S/5$。

(1) 求める定数は $$\displaystyle s=\frac{d}{S}=\frac25.$$

(2) Aを始点とする位置ベクトルで中点を表すと $$\displaystyle \overrightarrow{BM}=\frac{\mathbf v}{2}-\mathbf u,\qquad \overrightarrow{CN}=\frac{\mathbf u}{2}-\mathbf v.$$ したがって $$\displaystyle \overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{CN} =\frac54d-\frac12S=0.$$

(3) $L$はBCの中点なので $\overrightarrow{AL}=(\mathbf u+\mathbf v)/2$。よって $$\displaystyle |\overrightarrow{AL}|^2=\frac14(S+2d)=\frac9{20}S.$$ また、それぞれの長さを展開すると $$\displaystyle |\overrightarrow{BM}|^2+|\overrightarrow{CN}|^2 =\frac54S-2d=\frac9{20}S.$$ 両辺の係数は等しく、$t=1$。

(4) $|\mathbf u|=|\mathbf v|=r>0$ とすると $d=r^2\cos\theta$、$S=2r^2$。一方 $d=2S/5=4r^2/5$ だから $$\displaystyle \cos\theta=\frac45.$$

答え

(1) $\displaystyle s=\frac25$。 (2) $0$。 (3) $t=1$。 (4) $\displaystyle \cos\theta=\frac45$。