14東邦大学 2014年 数学 第14問解答・解説

$\mathbf a=\overrightarrow{OA}$、$\mathbf b=\overrightarrow{OB}$、$\mathbf c=\overrightarrow{OC}$ とおく。外接円の半径が1なので $|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1$。与式は $$8\mathbf c=-(7\mathbf a+5\mathbf b)$$ となる。両辺の長さを二乗し、内積の展開公式を使うと $$64=|7\mathbf a+5\mathbf b|^2=49+25+70(\mathbf a\cdot\mathbf b)$$ だから $\mathbf a\cdot\mathbf b=-1/7$。

余弦定理で三辺を求める。 $$\displaystyle AB^2=|\mathbf b-\mathbf a|^2=2-2(\mathbf a\cdot\mathbf b)=\frac{16}{7},$$ よって $AB=4/\sqrt7$。また $$\displaystyle \overrightarrow{AC}=\mathbf c-\mathbf a=-\frac{15\mathbf a+5\mathbf b}{8},\qquad AC^2=\frac{25}{64}|3\mathbf a+\mathbf b|^2 =\frac{25}{64}\left(10+6\mathbf a\cdot\mathbf b\right)=\frac{25}{7},$$ ゆえに $AC=5/\sqrt7$。同様に $$\displaystyle \overrightarrow{BC}=\mathbf c-\mathbf b=-\frac{7\mathbf a+13\mathbf b}{8},\qquad BC^2=\frac1{64}|7\mathbf a+13\mathbf b|^2 =\frac1{64}\left(218+182\mathbf a\cdot\mathbf b\right)=3,$$ したがって $BC=\sqrt3$。

三角形の面積を $S$、角Cを $C$ とすると、$\displaystyle S=\frac12 AC\cdot BC\sin C$。正弦定理と外接円半径 $R=1$ より $AB=2R\sin C$、すなわち $\sin C=AB/2$。したがって $$\displaystyle S=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4R} =\frac{(4/\sqrt7)(5/\sqrt7)(\sqrt3)}4 =\frac{5\sqrt3}{7}.$$

位置ベクトルの内積から余弦を求め、余弦定理で三辺を計算します。面積は二辺とその間の角で表し、正弦定理からその正弦を外接円半径で置き換えます。これにより高校範囲の内積・余弦定理・正弦定理だけで面積が得られます。