東邦大学 2014年数学第4問解答・解説

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1問題

東邦大学2014年度第4問

Aを上、D、B、Cを左から順に一直線上に置いた図で、AからD、B、Cへ線分が引かれている。Cの内角に弧と30°の表示がある。

右図のように， $\angle ABC$ が鈍角である $\triangle ABC$ があり， $AB=6,\quad CA=11,\quad\angle ACB=30^{\circ}$ である。辺 $CB$ の $B$ を越える延長上に， $AD=AB$ であるような点 $D$ をとるとき， $BD=\sqrt{\boxed{\text{サシ}}}$ が成り立つ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

三角形ABCとACDに同じ余弦定理を適用し、2つの線分長を同一二次方程式の根として比較した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\sqrt{23}$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

$CB=u$ 、 $CD=v$ とおく。 $D$ は $CB$ を $B$ の先まで延長した上にあるから $v>u$ である。また $\angle ACD=\angle ACB=30^\circ$ 。余弦定理を $\triangle ABC$ と $\triangle ACD$ に用い、 $AB=AD=6$ 、 $AC=11$ を代入すると、どちらもそれぞれ $36=11^2+w^2-2\cdot11\cdot w\cos30^\circ,$ を満たす。ただし $w=u$ または $v$ である。従って $u,v$ は二次方程式 $w^2-11\sqrt3\,w+85=0$ の2つの根である。根の差の絶対値は判別式の平方根 $\sqrt{(11\sqrt3)^2-4\cdot85}=\sqrt{23}$ 。 $v>u$ なので $BD=CD-CB=v-u=\sqrt{23}.$

この問題で使う考え方

余弦定理
三角比と相互関係

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