11東邦大学 2014年 数学 第11問解答・解説

$x(t)=t(2-t)$ とおくと $x\prime(t)=2(1-t)$ であり、$0\leq t\leq1$ で $x$ は $0$ から $1$ へ増加し、$1\leq t\leq2$ で $1$ から $0$ へ減少する。二つのパラメータ $s,t$ が同じ $x$ 座標を与えるとき、$x(s)-x(t)=(s-t)(2-s-t)=0$ だから、$s=t$ または $s=2-t$ である。$0<t<1$ では $x(t)=x(2-t)$ であり、$$y(t)-y(2-t)=t(2-t)^2-(2-t)t^2=2t(2-t)(1-t)>0.$$従って $0\leq t\leq1$ が上側の枝、$1\leq t\leq2$ が下側の枝を表す。両枝は $t=0,2$ の原点と $t=1$ の $(1,1)$ でだけ接続し、内部では交わらない。各枝では異なるパラメータに対して $x$ が異なる値をとるので自己交差もなく、曲線は囲まれた一つの領域の境界になる。よって、縦方向の上下差を $0\leq x\leq1$ で積分し、上側の枝を $0\le t\le1$ の範囲の $t$ で置換すると、$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1\bigl(y_{\rm upper}(x)-y_{\rm lower}(x)\bigr)\,dx\\&=\int_0^1\bigl(y(t)-y(2-t)\bigr)x\prime(t)\,dt\\&=\int_0^1 4t(2-t)(1-t)^2\,dt\\&=\int_0^1(8t-20t^2+16t^3-4t^4)\,dt=\frac8{15}.\end{aligned}$$また $\displaystyle \int_1^2 y(t)x\prime(t)\,dt=-\int_0^1y(2-t)x\prime(t)\,dt$ なので、元の $\displaystyle \int_0^2y(t)x\prime(t)\,dt$ もこの上下差の積分と等しい。