12東邦大学 2014年 数学 第12問解答・解説

正五角形の中心を $O$、隣り合う頂点を $A,B$、辺 $AB$ の中点を $M$ とする。中心角は $72^\circ$ であり、$OM\perp AB$ なので直角三角形 $OAM$ の $O$ の角は $36^\circ$。従って $$\displaystyle \frac rR=\frac{OM}{OA}=\cos36^\circ.$$ $c=\cos36^\circ$ とおく。三倍角の公式と $\cos108^\circ=-\cos72^\circ$、$\cos72^\circ=2c^2-1$ より $$4c^3-3c=\cos108^\circ=1-2c^2.$$ 従って $(c+1)(4c^2-2c-1)=0$。$c>0$ より $$\displaystyle c=\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ よって $r/R=(1+\sqrt5)/4$。