8東邦大学 2014年 数学 第8問解答・解説

$f$ の次数を $n$、最高次の係数を $c\ne0$ とする。$n\ge3$ なら左辺 $f(x^2)$ の次数は $2n$、右辺 $x^2f(x-1)-2x^3-5$ の次数は $n+2$ であり、$2n>n+2$ となるので等式は成り立たない。 定数多項式なら右辺に $-2x^3$ が残るため不可能である。一次式 $f(x)=cx+d$ を代入すると、三次の係数比較から $c=2$、二次の係数比較から $d=4$ となる一方、定数項は $d=-5$ を要求し矛盾する。よって次数は2である。 $f(x)=cx^2+dx+e$ として代入すると $$cx^4+dx^2+e=cx^4+(-2c+d-2)x^3+(c-d+e)x^2-5.$$ 係数を比較して $$-2c+d-2=0,\qquad c-d+e=d,\qquad e=-5.$$ これより $d=2c+2$、$e=2d-c$ なので $-5=3c+4$、$c=-3$。従って次数は $2$、最高次係数は $-3$ である。実際 $f(x)=-3x^2-4x-5$ は元の等式を満たす。