5筑波大学 2014年 数学 第5問解答・解説

(1) 成分を用いて積を計算すると $$AB=\begin{pmatrix}a-b&a+2b\\c-d&c+2d\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}a+c&b+d\\-a+2c&-b+2d\end{pmatrix}.$$ $AB=BA$ の成分条件から $c=-b,\quad d=a+b$ が得られる。そこで $x=b,\quad y=a-b$ とおけば $$A=\begin{pmatrix}a&b\\-b&a+b\end{pmatrix} =xB+yE.$$

(2) $A^2\text{ を成分ごとに展開すると}$ $$A^2=\begin{pmatrix}a^2+bc&b(a+d)\\c(a+d)&bc+d^2\end{pmatrix} =(a+d)A-(ad-bc)E=tA-\Delta E.$$ $\text{この式に }A\text{ を左から掛けると}$ $$A^3=tA^2-\Delta A =t(tA-\Delta E)-\Delta A =(t^2-\Delta)A-t\Delta E.$$ $A^3=E$ を用いて移項すれば $$(t^2-\Delta)A=(t\Delta+1)E.$$

(3) $\text{(1)より }A=xB+yE\text{ とする}$。このとき $$t=3x+2y,\qquad \Delta=(x+y)(2x+y)+x^2=3x^2+3xy+y^2,$$ したがって $$t^2-\Delta=3(2x+y)(x+y).$$ B と E は一次独立なので、(2)の係数比較から $$x(t^2-\Delta)=0,\qquad y(t^2-\Delta)=t\Delta+1.$$ $x=0$ なら $A=yE$ であり $A^3=E$ より $y=1$、すなわち $A=E$。 $x\ne0$ なら $t^2-\Delta=0$ かつ $t\Delta+1=0$ だから $t^3=-1\text{、実数より }t=-1$。さらに $$(2x+y)(x+y)=0.$$ $2x+y=0\text{ のとき }t=-x=-1\text{ より }(x,y)=(1,-2)$。$x+y=0\text{ のとき }t=x=-1\text{ より }(x,y)=(-1,1)$。

これら二組では $t=-1,\quad\Delta=1$ なので、先に得た一般式 $A^3=(t^2-\Delta)A-t\Delta E$ から実際に $A^3=E$ となる。また $A=xB+yE\text{ は }B\text{ と可換}$である。よって解は $$E,\qquad B-2E=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix},\qquad E-B=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}.$$