6筑波大学 2014年 数学 第6問解答・解説

(1) 楕円の焦点距離を $c_1$、双曲線の焦点距離を $c_2$ とする。$a>\sqrt{13}>3$ なので $$c_1^2=a^2-9,\qquad c_2^2=4+b^2.$$ 同一の焦点をもつことから $c_1=c_2$ であり、 $$a^2-b^2=13,\qquad b^2=a^2-13.$$ 交点 $P=(x,t)$ では $x^2=4(1+t^2/b^2)$ である。これを楕円の式に代入すると $$\displaystyle \frac4{a^2}+\left(\frac4{a^2b^2}+\frac19\right)t^2=1,$$ したがって $$\displaystyle t^2=\frac{9b^2(a^2-4)}{36+a^2b^2} =\frac{9b^2(a^2-4)}{(a^2-9)(a^2-4)} =\frac{9b^2}{a^2-9}.$$ $t>0$ および $b^2=a^2-13$ より $$\displaystyle t=\frac{3\sqrt{a^2-13}}{\sqrt{a^2-9}},\qquad x=2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}} =\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}.$$ よって $$\displaystyle P=\left(\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}},\frac{3\sqrt{a^2-13}}{\sqrt{a^2-9}}\right).$$

(2) $P=(x_0,y_0)$ とおく。$y_0=t>0$ なので、楕円と双曲線の式をそれぞれ微分して接線の傾きを求められる。 $$\displaystyle \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx}=0,\qquad \frac{x}{2}-\frac{2y}{b^2}\frac{dy}{dx}=0.$$ したがって $P$ における接線の傾きは $$\displaystyle m_1=-\frac{9x_0}{a^2y_0},\qquad m_2=\frac{b^2x_0}{4y_0}.$$ (1)の座標から $$\displaystyle x_0^2=\frac{4a^2}{a^2-9},\qquad y_0^2=\frac{9b^2}{a^2-9}.$$ ゆえに $$\displaystyle m_1m_2=-\frac{9b^2x_0^2}{4a^2y_0^2}=-1,$$ よって2接線は直交する。

(3) (1)の座標から $$\displaystyle x_0^2+y_0^2 =\frac{4a^2+9(a^2-13)}{a^2-9}=13.$$ また $$\displaystyle x_0^2=4+\frac{36}{a^2-9}$$ であり、$a^2>13$ より $4<x_0^2<13$、すなわち $2<x_0<\sqrt{13}$ である。さらに $y_0>0$ なので、軌跡は $$x^2+y^2=13,\qquad x>2,\quad y>0$$ で表される第1象限の円弧である。$a\to\sqrt{13}+0$ では $P\to(\sqrt{13},0)$、$a\to\infty$ では $P\to(2,3)$ となるが、いずれも条件の範囲に含まれないため、両端点を除く。

軌跡の図示 (3)の軌跡は、円 $x^2+y^2=13$ 上で $x>2, y>0$ を満たす円弧である。端点 $(2,3)$, $(\sqrt{13},0)$ は含まない。