3筑波大学 2014年 数学 第3問解答・解説

接線の傾きは $f\prime(a)=-a e^{-a^{2}/2}$ なので、 $$\ell_a:\ y=e^{-a^{2}/2}(1+a^{2}-ax),\qquad Y(a)=(1+a^{2})e^{-a^{2}/2}.$$ (1) $$Y\prime(a)=a(1-a^{2})e^{-a^{2}/2}.$$ 従って $Y$ は $0<a<1$ で増加し、$a>1$ で減少する。最大値は $Y(1)=2e^{-1/2}=2/\sqrt e$。また $Y(a)>0$ であり、$t=a^{2}/2$ とおくと $Y(a)=(1+2t)e^{-t}\to0$（$a\to\infty$、問題で許された極限を使用）だから、値域は $$\displaystyle 0<Y(a)\le \frac{2}{\sqrt e}.$$ (2) $\ell_a$ の $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $a+1/a$。2本の接線が $x$ 軸上で交わる条件は $$\displaystyle a+\frac1a=b+\frac1b\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a-b)\left(1-\frac1{ab}\right)=0.$$ $a<b$ より $ab=1$、従って $b=1/a$。さらに $a<b$ と合わせると $0<a<1$。逆にこの条件なら2本の $x$ 軸との交点は一致する。 (3) (2)から $b=1/a$ である。$a\to+0$ のとき $Y(a)\to1$、一方 $t=1/(2a^{2})\to\infty$ とおけば $$Y(1/a)=(1+a^{-2})e^{-1/(2a^{2})}=(1+2t)e^{-t}\to0.$$ よって $Z(a)=Y(a)-Y(1/a)$ から $\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}Z(a)=1$。さらに $$\displaystyle Y\prime(x)=x(1-x^{2})e^{-x^{2}/2},\qquad Z\prime(a)=Y\prime(a)+\frac1{a^{2}}Y\prime(1/a),$$ ゆえに $$\displaystyle \frac{Z\prime(a)}a=(1-a^{2})e^{-a^{2}/2}+\frac{a^{2}-1}{a^{6}}e^{-1/(2a^{2})}.$$ 第1項は $1$ に収束する。第2項は $t=1/(2a^{2})$ とすると多項式因子と $e^{-t}$ の積であり、問題で与えられた極限から $0$ に収束する。従って $\displaystyle \lim\limits _{a\to+0}Z\prime(a)/a=1$。